Bild und Kern einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie Bild und Kern der folgenden linearen Abbildung und die Dimension dieser Unterräume, indem Sie jeweils eine Basis angeben. Zeichnen Sie die U-Räume in ein Koordinatensystem:
f: [mm] \IR^3 \to \IR^3, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x+2y \\ 3y+4z \\ 2x+4y} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich hab wohl grad ein Haus auf meine Leitung gebaut...
Da z = 2x bin ich aus dem Konzept. Für den Kern setze ich ja einfach gleich 0. Dies ergibt mir aber den Vektor [mm] \vektor{-2t \\ t \\ -3/4t}... [/mm] ist der erlaubt? oder ist es in dem Fall einfach nur t=0 und somit der Nullvektor?
Aber das geht mir irgenwie nicht auf, weil ja der Rang des Gleichungssystems nur 2 ist und somit das Bild nur dim = 2.
Aber wenn ich die Einheitsvektoren durch f abbilde bekomme ich drei linear unabhängige Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 4 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4}. [/mm] Das wiederum hiesse, dass dim(im(f)) = 3 ...?!?
Wie gesagt, ich stehe gewaltig auf der Leitung.
Lieben Dank für die neue Leitung :-D
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Hallo Cassipaya,
> Bestimmen Sie Bild und Kern der folgenden linearen
> Abbildung und die Dimension dieser Unterräume, indem Sie
> jeweils eine Basis angeben. Zeichnen Sie die U-Räume in
> ein Koordinatensystem:
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> f: [mm]\IR^3 \to \IR^3, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x+2y \\ 3y+4z \\ 2x+4y}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> Ich hab wohl grad ein Haus auf meine Leitung gebaut...
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> Da z = 2x bin ich aus dem Konzept. Für den Kern setze ich
> ja einfach gleich 0. Dies ergibt mir aber den Vektor
> [mm]\vektor{-2t \\ t \\ -3/4t}...[/mm] ist der erlaubt? oder ist es
> in dem Fall einfach nur t=0 und somit der Nullvektor?
Der Vektor
[mm]\vektor{-2t \\ t \\ -3/4t}[/mm]
ist natürlich erlaubt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Lösungsmenge des Kerns sind alle Vektoren, die Vielfache von
[mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ -3/4}[/mm]
sind. Damit ist auch automatisch der Nullvektor enthalten.
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> Aber das geht mir irgenwie nicht auf, weil ja der Rang des
> Gleichungssystems nur 2 ist und somit das Bild nur dim = 2.
> Aber wenn ich die Einheitsvektoren durch f abbilde bekomme
> ich drei linear unabhängige Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
Da hast Du Dich verrechnet.
Die Vektoren müssen lauten:
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ \red{2}}, \ \pmat{0 \\ 4 \\ 0}, \ \pmat{2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
> und [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}.[/mm] Das wiederum hiesse, dass
> dim(im(f)) = 3 ...?!?
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> Wie gesagt, ich stehe gewaltig auf der Leitung.
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> Lieben Dank für die neue Leitung :-D
Gruss
MathePower
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Danke MathPower
Dann sind die drei nicht mehr linear unabhängig da ich mit 2x 1. Vektor plus 3/4x 2. Vektor den dritten erzeugen kann, oder?
Bin froh, dass wieder was in meinen Kopf gelangt 
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Hallo Cassipaya,
> Danke MathPower
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> Dann sind die drei nicht mehr linear unabhängig da ich mit
> 2x 1. Vektor plus 3/4x 2. Vektor den dritten erzeugen kann,
> oder?
So isses.
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> Bin froh, dass wieder was in meinen Kopf gelangt
Gruss
MathePower
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Jetzt muss ich das ja aber noch zeichnen. Und da bekomme ich für die Bildebene:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = u * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + v * [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
und somit eine Achsenabschnittform: -x/2v +y/4v +z/4v = 1... Wie soll ich das einzeichnen? Kann ich einfach von v =1 ausgehen?
Und müsste der Kern nicht in der Ebene drin liegen?
Merci nochmals!
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Hallo Cassipaya,
> Jetzt muss ich das ja aber noch zeichnen. Und da bekomme
> ich für die Bildebene:
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> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = u * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] + v *
> [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> und somit eine Achsenabschnittform: -x/2v +y/4v +z/4v =
> 1... Wie soll ich das einzeichnen? Kann ich einfach von v
> =1 ausgehen?
Obige Ebenengleichung liefert:
[mm]x=u, \ y = 4*v, \ z=2u[/mm]
Hieraus ergibt sich eine Gerade in der x-z-Ebene.
Der zweite Richtungsvektor zeigt in Richtung der y-Achse.
Das ist jetzt nicht mehr schwer das einzuzeichnen.
>
> Und müsste der Kern nicht in der Ebene drin liegen?
Nein.
>
> Merci nochmals!
Gruss
MathePower
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