Bild und Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm] eine lineare Abbildung mit
f(0,1,1)=(6,3,11), f(1,0,1)=(6,4,10), f(1,1,0)=(2,1,3)
a) Man berechne dimKern f und dimBild f.
b) Man gebe für Kern f und Bild f Basen an. |
Hi!
Ich hab da mal ein paar Verständnisfragen und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann..
1. Es ist doch nach dimKernf und dimBildf gefragt...
nach der Dimensionsformel ist doch dimKernf + dimBildf=dimV
dimV ist=3
Ist dimBildf nicht auf jeden Fall 3?
Wenn dem so ist, muss doch dimKernf=0 sein. Kann das sein?!
2.zu b) um eine Basis von bildf zu bekommen, kann ich doch einfach die Bildvektoren nehmen, und auf lineare unabhängigkeit überprüfen.
Bei mir sieht das dann so aus:
[mm] \pmat{ 6 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 11 & 10 & 3 } \mapsto \pmat{ 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 11 & 10 & 3 } \mapsto \pmat{ 1 & 1 & \bruch{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Also sind die Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Basis von Bildf. Oder?!
Eine Basis vom Kernf wäre dann doch 0?! wenn die dimKernf = 0 ist, oder?!
Irgendwie komme ich da nicht weiter...
Vielen Dank für Hilfe!!!
Liebe Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei [mm]f:\IR^{3}\to\IR^{3}[/mm] eine lineare Abbildung mit
> f(0,1,1)=(6,3,11), f(1,0,1)=(6,4,10), f(1,1,0)=(2,1,3)
>
> a) Man berechne dimKern f und dimBild f.
> b) Man gebe für Kern f und Bild f Basen an.
> Hi!
> Ich hab da mal ein paar Verständnisfragen und hoffe, dass
> mir jemand weiterhelfen kann..
Jup ich versuche es.
>
> 1. Es ist doch nach dimKernf und dimBildf gefragt...
> nach der Dimensionsformel ist doch dimKernf +
> dimBildf=dimV
>
> dimV ist=3
> Ist dimBildf nicht auf jeden Fall 3?
> Wenn dem so ist, muss doch dimKernf=0 sein. Kann das
> sein?!
Nein, das kann nicht sein. Rein logisch mal überlegen: Wieso würden die Mathematiker einen Begriff definieren, der nie etwas aussagt? Als triviales Gegenbeispiel nehme man die Nullmatrix. Die bildet alle Vektoren auf Null ab und damit ist [mm] $V=\Kern [/mm] f [mm] \Rightarrow dim(\Kern [/mm] f)=dim(V) [mm] \not=0 [/mm] $.
>
> 2.zu b) um eine Basis von bildf zu bekommen, kann ich doch
> einfach die Bildvektoren nehmen, und auf lineare
> unabhängigkeit überprüfen.
Ja, das ist richtig.
> Bei mir sieht das dann so aus:
> [mm]\pmat{ 6 & 6 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 11 & 10 & 3 } \mapsto \pmat{ 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 11 & 10 & 3 } \mapsto \pmat{ 1 & 1 & \bruch{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Also sind die Vektoren:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Basis von Bildf. Oder?!
>
Ich habe deine Schritte nicht genau nachvollziehen können (insbesondere das -1 beim ersten Gauss-Schritt). Wichtig ist, dass du eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] kriegst und die hast du. Wobei du hier natürlich gerade so gut die Standardbasis nehmen kannst.
> Eine Basis vom Kernf wäre dann doch 0?! wenn die dimKernf =
> 0 ist, oder?!
>
Ja, das ist so.
> Irgendwie komme ich da nicht weiter...
>
??? Hast ja (fast) alles richtig 
> Vielen Dank für Hilfe!!!
>
> Liebe Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ciao
EvenSteven
>
|
|
|
| |
|
Hi EvenSteven!
Und danke erstmal für die schnelle Antwort!
Nur nochmal der Verständnishalber: 
Okay, ich sehe ein, dass dimBildf nicht auf jedenfall 3 ist, aber dadurch, dass die Basis vom Bildf 3 dimesional ist, ist dimBildf=3 und somit dimKernf=0, oder?
Nochmals dankeschön!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 15.09.2006 | | Autor: | ron |
Hey,
lese bitte die Mitteilung, hatte geschrieben bevor ich die Frage lesen konnte.
Ciao
Ron
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 15.09.2006 | | Autor: | ron |
Hey,
das Vorgehen ist i.O.
Allerdings ist beim zweiten Gausschritt ein Rechenfehler, denn erste Zeile durch 2 und dann von der zweiten abziehen ergibt: 0|1|0
Jetzt die erste Zeile durch 3 teilen und mal 11 von dritter Zeile abziehen:
0|-1| [mm] \bruch{22}{3}
[/mm]
Somit sind aber die Bildvektoren linear unabhängig und bilden eine Basis vom [mm] \IR^3
[/mm]
Folglich stimmt nach der Dimensionsformel die Aussage über dimKernf = 0
Gruß
Ron
|
|
|
| |
|
Super!! Dank auch Dir ganz herzlich, Ron!
1-1 sind ja immernoch 0!! Na sowas, da konnte ja keiner mit rechnen!
also manchmal...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Fr 15.09.2006 | | Autor: | ron |
Hey,
derjenige sollte den ersten Stein werfen, der das nicht schon selbst hatte!!!
Ron
|
|
|
|
