Bild einer kompakten Menge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Di 09.08.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Ist die folgende Aussage falsch, wenn ja, widerlegen sie:
Sei [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] differenzierbar. Dann sind Bilder kompakter Mengen unter [mm] $\(f$ [/mm] kompakt. |
Ich bin irgendwie unschlüssig, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Ein Beispiel was mir spontan eingefallen wäre ist die Funktion
[mm] $f:(-\infty,+\infty)\to\IR$ $x\to\bruch{1}{x^2+1}$ [/mm]
Dann ist das Bild ja $(0,1]$ und damit nicht kompakt.
Aber das ist natürlich keine Funktion wie in der Aufgabenstellung gefordert, weil da ja ein Intervall der Form [mm] $\([a,b]$ [/mm] gefordert wird.
Könnt ihr mir sagen, ob die Aussage richtig oder falsch ist?
Vielen Dank!
lg
nhrad
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Hallo nhard,
> Ist die folgende Aussage falsch, wenn ja, widerlegen sie:
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> Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] differenzierbar. Dann sind Bilder
> kompakter Mengen unter [mm]\(f[/mm] kompakt.
>
> Ich bin irgendwie unschlüssig, ob die Aussage wahr oder
> falsch ist.
Nun, aus Differenzierbarkeit folgt ja bekanntlich Stetigkeit.
$f$ ist also insbesondere auf jeder kompakten Teilmenge von $[a,b]$ stetig.
Und stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt.
Hattet ihr das in der VL?
Ansonsten musst du das beweisen ...
>
> Ein Beispiel was mir spontan eingefallen wäre ist die
> Funktion
> [mm]f:(-\infty,+\infty)\to\IR[/mm] [mm]x\to\bruch{1}{x^2+1}[/mm]
> Dann ist das Bild ja [mm](0,1][/mm] und damit nicht kompakt.
Aber [mm] $(-\infty,\infty)$ [/mm] ist ja auch keine kompakte Menge ...
>
> Aber das ist natürlich keine Funktion wie in der
> Aufgabenstellung gefordert, weil da ja ein Intervall der
> Form [mm]\([a,b][/mm] gefordert wird.
>
> Könnt ihr mir sagen, ob die Aussage richtig oder falsch
> ist?
>
> Vielen Dank!
>
> lg
> nhrad
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Di 09.08.2011 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank für deine Antwort. Also ist klar, dass die Aussage richtig ist?
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Ich meine aber aus der Vorlesung zu Wissen, dass [mm] $(-\infty,\infty)$ [/mm] eine kompakte Menge ist.
Aber trotzdem wäre ja meine Argumentation falsch, weil meine Funktion nicht wie in der Aufgabenstellung definiert ist.
lg
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Antwort. Also ist klar, dass die
> Aussage richtig ist?
>
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> Ich meine aber aus der Vorlesung zu Wissen, dass
> [mm](-\infty,\infty)[/mm] eine kompakte Menge ist.
Ich glaube kaum, dass das so in der VL gesagt wurde.
Es gilt: "Eine Teilmenge $M$ der Menge [mm] $\IR$ [/mm] der reellen Zahlen ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist."
Und [mm] $M=(-\infty,\infty)=\IR$ [/mm] ist doch nicht beschränkt ...
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> Aber trotzdem wäre ja meine Argumentation falsch, weil
> meine Funktion nicht wie in der Aufgabenstellung definiert
> ist.
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>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 09.08.2011 | | Autor: | nhard |
oh Gott, ist natürlich völliger Quatsch den ich da geschrieben habe. Da habe ich was verwechselt. Sorry...
Vielen Dank für deine Hilfe!
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