Bild einer best. Möbius-Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] T:=\overline{\mathbb C}=\mathbb C \cup \{\infty\}\rightarrow\overline{\mathbb C} [/mm] mit
[mm]T(z):=\frac{z-1}{2z+3}[/mm]
Gesucht: Das Bild von [mm]T[Re(z)>1][/mm] und das Urbild von [mm]T^{-1}[|\omega|<1][/mm]
|
Hallo,
ich habe die Funktion T schon ein bissl angeschaut und bin mit Hilfe von Maple und einigem Rumprobieren darauf gekommen, dass die Bilder von Geraden, die parallel zur imaginären Achse sind und durch [mm]a\in\mathbb R_{>1}[/mm] gehen, auf Kreise abgebildet werden. Die Mittelpunkte dieser Kreise befinden sich auf der reellen Achse zwischen 0 und 0,5. Man kann sie und die zugehörigen Radien anhand vom Bild vom jeweiligen a bestimmen.
Allerdings hilft mir der dabei entstehende, sehr umfangreiche Term nicht, eine schöne Herleitung herbei zumogeln. Es muss jedoch irgendeine geschickte Termumformung geben, sodass mit z=a+iy, a fest, [mm] y\in\mathbb R[/mm] in T eine Parametergleichung/Implizite Form für einen Kreis zu bekommen ist.
Kann mir jemand bei dieser Herleitung helfen (vorausgesetzt meine bisherigen Überlegungen stimmen überhaupt)?
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
was Du da ansprichst ist ein Satz, der in der Funktionentheorie sehr bekannt ist. Es gibt den Satz der Kreisverwandtschaft bilinearer Funktionen (so bezeichnet man die Möbiustransformationen auch). Er besagt, dass allgemeine Kreislinien in [mm] $\IC$ [/mm] durch bilineare Funktionen auf allg. Kreislinien abgebildet werden. Unter einer allg. Kreislinie in [mm] $\IC$ [/mm] versteht man dann entweder eine Gerade oder eine Kreislinie (d.h. Rand eines Kreises).
Eine allg. Kreislinie läßt sich darstellen durch
[mm] $Ax+By+C(x^2+y^2)+D=0$, [/mm] wobei $A,B,C$ nicht alle Null, wobei $x=Re(z)$ und $y=Im(z)$, man also [mm] $\IC=\IR^2$ [/mm] identifiziert.
Nun geht man hin, und zeigt, dass sich jede bilineare Funktionen als Verknüpfungen von "einfachen" bilinearen Abbildungen, nämlich Drehstreckung, Verschiebung und Stürzung schreiben läßt. Daher genügt es, den Satz für Stürzungen zu beweisen. Und dann ist es fast banal, wenn man dann [mm] $w=\frac{1}{z}=u+i*v$ [/mm] schreibt und dann zeigt, dass dann auch $(u,v)$ auf einer Kreislinie liegt (dabei Fallunterscheidung: $0$ liege auf der (natürlich: Ausgangs-)Kreislinie; $0$ sei nicht auf der Kreislinie). Aber vielleicht geht das ein wenig zu weit...
> Gegeben:
> [mm]T:=\overline{\mathbb C}=\mathbb C \cup \{\infty\}\rightarrow\overline{\mathbb C}[/mm]
> mit
> [mm]T(z):=\frac{z-1}{2z+3}[/mm]
Schauen wir doch mal, vll. reicht Dir ja schon das folgende:
[mm] $T(z)=\frac{z-1}{2z+3}=\frac{1}{2}+\frac{z-1}{2z+3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{2z-2-(2z+3)}{2z+3}=\frac{1}{2}-\frac{5}{2z+3}$
[/mm]
Dann kann man $T$ schreiben als:
$T=f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] k$ mit
[mm] $f(z)=\frac{1}{2}+z$, [/mm] $g(z)=-5*z$, [mm] $h(z)=\frac{1}{z}$ [/mm] und $k(z)=2*z+3$
$f$ ist eine Verschiebung, $g$ ist eine (Dreh)-Streckung, $h$ ist eine Stürzung und $k$ ist wieder eine Zusammensetzung aus einer Verschiebung und einer (Dreh-)Streckung.
Jetzt musst Du Dir halt überlegen, ob Dir das reicht, um damit das Bild von [mm] $R:=\{z: Re(z) > 1\}$ [/mm] unter $T$ zu bestimmen:
Was ist k(R)? Was folgt daraus für $h(k(R))$ usw.
Und ich hoffe mal, dass Du analog für das Urbild von [mm] $\mathcal{D}:=\{z \in \IC: |z|<1\}$ [/mm] vorgehst:
Was ist [mm] $f^{-1}(\mathcal{D})$? [/mm] Was folgt dann für [mm] $g^{-1}(f^{-1}(\mathcal{D}))$...
[/mm]
(Beachte: $(f [mm] \circ g)^{-1}(M)=g^{-1}(f^{-1}(M))$, [/mm] und wenn Du z.B. $f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] k$ hast, dreht sich quasi die Reihenfolge der Funktionen um und überall kommt ein hoch (-1) dran, für das Urbild der Verknüpfungen zu "errechnen".)
P.S.:
Was ich oben schonmal angesprochen und benutzt habe:
Eine jede Möbiustransformation $z [mm] \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ [/mm] läßt sich als Verknüpfung der 3 oben angesprochenen "einfachen" Möbiustransformationen schreiben:
Im Falle $c=0$ solltest Du das sehen, im Falle $c [mm] \not=0$ [/mm] kommst Du (mit analogen Umformungen, wie ich so oben gemacht habe) zu
[mm] $\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c}*\frac{1}{cz+d}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
herzlichen Dank für die schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen!
Gruß,
Lorenz
|
|
|
|
