Bild einer Matrix, einer Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zum Bild. Also ich versteh nicht wie man das Bild einer Matrix bestimmt, also rechnerisch. Genauso weiß ich auch nicht wie man das Bild einer Linearen Abbildung bestimmt. Und was ist der Unterschied beim bestimmen des bildes der basis.
Könnte mir das jemand an hand eines bsp. zeigen, bitte.
Gruß
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Hi,
> wie man das Bild einer Matrix bestimmt, also rechnerisch.
Das Bild ist der von den Spaltenvektoren aufgespannte Raum.
> Genauso weiß ich auch nicht wie man das Bild einer
> Linearen Abbildung bestimmt.
Man bestimmt das Bild über eine Abbildungsmatrix der linearen Abbildung.
> Und was ist der Unterschied beim bestimmen des bildes der basis.
Meinst du vielleicht 'der Basis des Bildes?'
Unter den Spaltenvektoren einer Matrix können lineare Abhängigkeiten auftreten. Um eine Basis zu erhalten musst du entsprechend Vektoren rausschmeißen, so dass die verbleibenden linear unabhängig sind.
Mehr kannst du hier nachlesen. Auch ein Beispiel ist dabei.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo, danke für die antwort.
Also ich habe irgendwo anders gelesen (weiß nicht mehr wo), dass man das Bild einer Matrix mit Gauß bestimmen kann.
Also z.B. bei der matrix vom beispiel.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }
[/mm]
man transponiert jetzt die matrix, weil zeilenumformungen.
dann wendet man gauß an und bekommt
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das ist aber nicht das gleiche ergebnis wie in dem beispiel. Also geht das so nicht oder?
Ja ich meine die basis des bildes. Wie muss ich hier vorangehen.
Gruß
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> Hallo, danke für die antwort.
> Also ich habe irgendwo anders gelesen (weiß nicht mehr
> wo), dass man das Bild einer Matrix mit Gauß bestimmen
> kann.
> Also z.B. bei der matrix vom beispiel.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
> man
> transponiert jetzt die matrix, weil zeilenumformungen.
> dann wendet man gauß an und bekommt
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Stimmt genau.
> Das ist aber nicht das gleiche ergebnis wie in dem beispiel. Also geht
> das so nicht oder?
Was spricht dagegen? Eine Basis ist doch nicht eindeutig.
Wenn du mal nachrechnest, wirst du feststellen, dass du beide hier ermittelten Basisvektoren als Linearkombination von den beiden auf der Beispielseite angebenen Vektoren darstellen kannst, und andersrum.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Stift |
Aber ich wollte damit das Bild berechnen. Ist das Bild auch nicht eindeutig?
Wäre das Bild dann [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 7} \vektor{0 \\ 3 \\ 6} [/mm] ?
Und wie berechnet man die Basis des Bildes?
Gruß
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Hallo Stift,
> Aber ich wollte damit das Bild berechnen. Ist das Bild auch
> nicht eindeutig?
Doch, natürlich ist es eind.!
> Wäre das Bild dann [mm]\vektor{1 \\
4 \\
7} \vektor{0 \\
3 \\
6}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, eigentlich ist die Tansponierung der Matrix oben unnötig, da Zeilenrang=Spaltenrang.
Du hast mit der ZSF herausgefunden, dass die Ausgangsmatrix Spaltenrang=Zeilenrang=2 hat.
Das Bild ist also 2-dimensional.
Greife dir also 2 limnear unabh. Spaltnvektoren [mm] $v_1,v_2$ [/mm] aus der Ausgangsmatrix heraus. Die spannen das Bild auf ...
[mm] $Bild=$
[/mm]
> ?
>
> Und wie berechnet man die Basis des Bildes?
Du hast die Dimension des Bildes doch zu 2 bestimmt, also nimm dir 2 lin. unabh. Spaltenvektoren als Basis des Bildes her ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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