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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 29.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] f:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto\bruch{1-cos(x)}{x}.
[/mm]
Man zeige, es exsitiert ein c>0 mit [mm] f((0,\infty))=[0,c]. [/mm] |
Hi,
hier weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll. Ich habe erst einmal versucht abzuleiten, in der Hoffnung, bei c handelt es sich um einen Hochpunkt:
[mm] f'(x)=\bruch{sin(x)*x-(1-cos(x))}{x^2}.
[/mm]
Jetzt wollte ich [mm] 0=\bruch{sin(x)*x-1+cos(x)}{x^2} [/mm] berechnen.
[mm] \bruch{sin(x)*x-1+cos(x)}{x^2}=0 \gdw{sin(x)*x-1+cos(x)=0} \gdw [/mm] x=0, jedoch ist dann der Nenner [mm] x^2=0.
[/mm]
Also ist das wohl keine gute Idee. Gibt's vielleicht andere Ideen?! Würde mich freuen.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 29.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Schön, hier auch mal einen Wima zu treffen 
auch WiMa-Student - freut mich.
> 1. [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1-cos(x)}{x} = 0[/mm]
> 2.
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1-cos(x)}{x} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{1} = 0[/mm]
>
Okay, den Gedanken hatte ich auch zuerst, hatte mich aber nicht weitergebracht, da ich auch jeweils 0 als Grenzwert hatte.
> Nun zur Berechnung der Extrema:
> Du liegst richtig und musst
>
> [mm]{sin(x)\cdot{}x-1+cos(x)=0}[/mm]
>
> lösen. Die Lösung [mm]x=0[/mm] ist hier nicht interessant, sie liegt
> schließlich nicht innerhalb deines Definitionsbereiches.
> Jedoch bedenke, dass der Sinus und Cosinus periodisch sind.
> Du stellst somit fest, dass alle [mm]x_k=2k\pi[/mm] mit [mm]k \in \IZ[/mm]
> ebenfalls die Gleichung lösen. Allerdings interessieren
> uns nur jene [mm]x_k[/mm] mit [mm]k\ge 1[/mm] . Das liegt schon wieder am
> Defintionsbereich.
>
> Kommst du nun alleine weiter? 
Mal sehen. Also wenn ich weiß, dass für die Folge [mm] x_k:=2k\pi [/mm] mit [mm] k{\ge1} [/mm] ein Extrema vorliegt, würde ich die Folge in f einsetzen:
[mm] f(x_k)=\bruch{1-cos(2k\pi)}{2k\pi}
[/mm]
Jetzt würde ich [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{f(x_k)}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1-cos(2k\pi)}{2k\pi}=0
[/mm]
Für k=1 wäre dann der Punkt [mm] P(2\pi|0) [/mm] ein Hochpunkt?
Ich kann ja [mm] x_k=2k\pi [/mm] einmal in die zweite Ableitung einsetzen:
[mm] f''(x)=sin(x)+x\cdot{}cos(x)-sin(x)=x*cos(x)
[/mm]
[mm] f''(2\pi)=..>0 [/mm] also ist an dieser Stelle doch ein Tiefpunkt.
Wo ist mein Denkfehler?
> Viele Grüße vom Mit-Wima Dester.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Sa 29.09.2007 | | Autor: | DesterX |
Sorry,
du hast soweit recht: Für diese [mm] $x_k$ [/mm] findest du Tiefpunkte.
Jedoch hatte ich noch weitere Lösungen der Gleichung unterschlagen. Probiere mal, ob du selber drauf kommst- ansonsten frag nochmal nach.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 29.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
kein Problem. Auf die anderen Nullstellen komme ich nicht! Die Aufgabe ist einer Klausur entnommen und ich denke eigentlich, dass diese nichts mit "Probieren" zu tun haben kann. Weil rechnerisch kommt man sicherlich nicht an das c. Ich habe schon gedacht, ob man nicht irgendeinen Satz anwenden muss, ohne jegliches Rechnen. Aber mir kommt da kein zutreffender Satz in den Sinn.
MfG barsch
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Hallo,
meine Idee:
[mm] f(x)=\bruch{1-cos x}{x} [/mm] hat ja jeweils für [mm] x=2\pi [/mm] k eine Nullstelle.
Jetzt würde ich die Funktion auf den Teilintervallen [mm] I_k:=[2\pi [/mm] K, [mm] 2\pi [/mm] (k+1)] betrachten.
Jeweils in den Endpunkten ist f(x)=0, also (MWS) gibt es ein [mm] x_k \in I_k, [/mm] in welchen die Funktion einen Extremwert annimmt.
Der Extremwert ist ein Maximum.
Die Folge [mm] f(x_k) [/mm] ist momoton fallend, also ist die Funktion durch [mm] f(x_0) [/mm] beschränkt.
Das muß jetzt noch ein bißchen gegart udn gewürzt werden, aber als Basis kommt es mir brauchbar vor.
Gruß v. Angela
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