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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Fr 08.01.2010 | | Autor: | egal |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2\\ 1 & 0 &-1\\ -2 & -3 &-4}
[/mm]
Zu Bestimmen ist das Bild von A |
Halli Hallo,
nun hatte heute eine Übung und kann dem ganzen nicht ganz folgen und wollte euch deshalb um Hilfe bitten.
Bild von A: im [mm] A=span
[/mm]
dann wurden die jeweiligen Elemente der lin. Hülle schon berechnet:
[mm] A\overrightarrow{e_1}=\vektor{4 \\ 1\\-2}
[/mm]
[mm] A\overrightarrow{e_2}=\vektor{3 \\ 0\\-3}
[/mm]
[mm] A\overrightarrow{e_3}=\vektor{2 \\ -1\\4}
[/mm]
Nun gilt, dass [mm] A\overrightarrow{e_1} [/mm] und [mm] A\overrightarrow{e_3} [/mm] unabhängig sind.
[mm] A\overrightarrow{e_1}, A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3} [/mm] sind aber lin. abhängige Vektoren.
1. Frage:
ich weiß nicht, mit welcher methode man das bild einer matrix bestimmt und würde gerne wissen, was genau er hier gemacht hat? wieso pickt er gerade [mm] A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3} [/mm] raus um zu sagen, dass diese lin. unabhängig sind und dass
[mm] A\overrightarrow{e_1}, A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3} [/mm] sind aber lin. abhängige Vektoren. abhängig sind.
was sagt mir das jetzt?
2. Frage
Die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen habe ich bisher nur anhand quadratischen Matrizen geübt und gelernt. Wie sieht es denn mit
[mm] A\overrightarrow{e_1}=\vektor{4 \\ 1\\-2}
[/mm]
[mm] A\overrightarrow{e_3}=\vektor{2 \\ -1\\4}
[/mm]
den beiden aus?? was ist denn da zu tun?... vorher hatte ich einfach ein gleichungssystem aufgestellt und es aufgelöst. Hier hätten wir ja 3 Gleichungssysteme und zwei Variablen (lambda). Wie gehe ich denn da vor?
Wäre euch für Hilfe, sehr verbunden
Danke im vorraus
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Hallo egal  ,
> A= [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2\\ 1 & 0 &-1\\ -2 & -3 &-4}[/mm]
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> Zu Bestimmen ist das Bild von A
> Halli Hallo,
>
> nun hatte heute eine Übung und kann dem ganzen nicht ganz
> folgen und wollte euch deshalb um Hilfe bitten.
>
> Bild von A: im [mm]A=span[/mm]
>
> dann wurden die jeweiligen Elemente der lin. Hülle schon
> berechnet:
>
> [mm]A\overrightarrow{e_1}=\vektor{4 \\ 1\\-2}[/mm]
>
> [mm]A\overrightarrow{e_2}=\vektor{3 \\ 0\\-3}[/mm]
>
> [mm]A\overrightarrow{e_3}=\vektor{2 \\ -1\\4}[/mm]
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> Nun gilt, dass [mm]A\overrightarrow{e_1}[/mm] und
> [mm]A\overrightarrow{e_3}[/mm] unabhängig sind.
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> [mm]A\overrightarrow{e_1}, A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3}[/mm]
> sind aber lin. abhängige Vektoren.
>
> 1. Frage:
> ich weiß nicht, mit welcher methode man das bild einer
> matrix bestimmt und würde gerne wissen, was genau er hier
> gemacht hat? wieso pickt er gerade [mm]A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3}[/mm]
> raus um zu sagen, dass diese lin. unabhängig sind und dass
> [mm]A\overrightarrow{e_1}, A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3}[/mm]
> sind aber lin. abhängige Vektoren. abhängig sind.
>
> was sagt mir das jetzt?
Das Bild deiner Matrix A ist so definiert:
$Bild(A) := [mm] \{A*x|x\in\IR^{3}\}$
[/mm]
(Die Menge aller Vektoren, die A erzeugen kann, wenn man alle Vektoren aus [mm] \IR^{3} [/mm] einsetzt).
Nun ist [mm] (e^{1},e^{2},e^{3}) [/mm] eine Basis von [mm] \IR^{3}. [/mm] Das bedeutet, ich kann Bild(A) auch so schreiben:
$Bild(A) := [mm] \{A*x|x\in\IR^{3}\} [/mm] = [mm] \{A*(\lambda_{1}*e_{1} + \lambda_{2}*e^{2} + \lambda_{3}*e^{3})|\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{2}\}$
[/mm]
(Durch die Menge der Linearkombinationen von [mm] (e^{1},e^{2},e^{3}) [/mm] werden auch alle Vektoren aus [mm] \IR^{3} [/mm] erzeugt). Nun weißt du, dass eine Matrix eine "lineare Abbildung" ist, bzw. deren Eigenschaften hat:
$Bild(A) = [mm] \{\lambda_{1}*(A*e_{1}) + \lambda_{2}*(A*e^{2}) + \lambda_{3}*(A*e^{3})|\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{2}\}$
[/mm]
Das bedeutet, der Bildraum von A wird aufgespannt durch [mm] $(A*e_{1}, A*e_{2}, A*e_{3})$. [/mm] Warum man gerade die Einheitsvektoren nimmt, fragst du dich jetzt vielleicht noch: Nun, erstens sind sie sehr "einfach", und zweitens haben sie nun die nette Eigenschaft, dass [mm] A*e_{1} [/mm] eben gerade die erste Spalte der Matrix A liefert (ausrechnen!), usw.
--> Das liefert dir den allgemeinen Satz: Die Spalten von A sind ein Erzeugendensystem des Bildraums von A.
Dass nun der erste und der dritte Spaltenvektor linear unabhängig sind, ist eben einfach eine schicksalhafte Fügung, das hat jetzt erstmal nichts damit zu tun, wie wir auf den Bildraum gekommen sind.
Wie du das beweist, dass der erste und dritte Spaltenvektor linear unabhängig sind, weißt du ja (man sieht es). Dass dann die gesamte Menge der Spaltenvektoren linear abhängig sind, sieht man nicht direkt.
> 2. Frage
>
> Die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen habe ich bisher
> nur anhand quadratischen Matrizen geübt und gelernt. Wie
> sieht es denn mit
>
> [mm]A\overrightarrow{e_1}=\vektor{4 \\ 1\\-2}[/mm]
>
> [mm]A\overrightarrow{e_3}=\vektor{2 \\ -1\\4}[/mm]
>
> den beiden aus?? was ist denn da zu tun?... vorher hatte
> ich einfach ein gleichungssystem aufgestellt und es
> aufgelöst. Hier hätten wir ja 3 Gleichungssysteme und
> zwei Variablen (lambda). Wie gehe ich denn da vor?
Prinzipiell ist es ja immer dasselbe Schema:
Bei zwei Vektoren brauchst du nur zu schauen, ob der eine Vielfaches des anderen ist. Hier ist das nicht der Fall, deswegen sind die linear unabhängig.
Du kannst auch mit zwei Vektoren ein lineares Gleichungssystem aufstellen, ich wüsste nicht, was dich daran hindert!
Es muss gelten:
[mm] $\lambda_{1}*\vektor{4 \\ 1\\-2} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{2 \\ -1\\4}=0 \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0$
für linear unabhängig.
Gleichungssystem:
[mm] 4*\lambda_{1} [/mm] + [mm] 2*\lambda_{2} [/mm] = 0,
[mm] 1*\lambda_{1} [/mm] + [mm] (-1)*\lambda_{2} [/mm] = 0,
[mm] (-2)*\lambda_{1} [/mm] + [mm] 4*\lambda_{2} [/mm] = 0.
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Allerdings empfiehlt es sich eigentlich meistens, die Vektoren zeilenweise in eine Matrix zuschreiben und diese dann auf Zeilenstufenform zu bringen, um zu sehen, ob sie linear unabhängig oder abhängig sind.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 08.01.2010 | | Autor: | egal |
d.h. ich muss [mm] A\overrightarrow{e_1}, A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3} [/mm] auf lineare Unabhängigkeit überpfüfen. Dazu stelle ich ein Gleichungssystem auf und löse es mit dem Gauß. Wenn ich bpsw. Nullzeilen hab, was hier nicht der Fall ist, dann sind die kein Element vom Bild der Matrix, ist das richtig so stephan?
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> d.h. ich muss [mm]A\overrightarrow{e_1}, A\overrightarrow{e_2} A\overrightarrow{e_3}[/mm]
> auf lineare Unabhängigkeit überpfüfen. Dazu stelle ich
> ein Gleichungssystem auf und löse es mit dem Gauß. Wenn
> ich bpsw. Nullzeilen hab, was hier nicht der Fall ist, dann
> sind die kein Element vom Bild der Matrix, ist das richtig
> so stephan?
Hallo,
am besten nimmst Du jetzt mal Deine Matrix (die Matrix, von der Du das Bild wissen willst), bringst sie auf Zeilenstufenform, postest sie hier, und dann sagen wir Dir, wie Du daran sehen kannst, was eine Basis des Bildes ist.
Nur die Story zu lesen und dann ja oder nein zu sagen, ist mir zu unsicher.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 08.01.2010 | | Autor: | egal |
[mm] \pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0,75 & 1,5 \\ 0 & 0 & 8 }
[/mm]
das Bild wäre: [mm] \vektor{4 \\ 0\\0}, \vektor{3 \\ 0,75\\0}, \vektor{2 \\ 1,5\\8}
[/mm]
richtig so?
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> [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0,75 & 1,5 \\ 0 & 0 & 8 }[/mm]
Hallo,
irgendwie ist die Zeilenstufenform nicht richtig.
Wir reden doch über die Matrix A= $ [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2\\ 1 & 0 &-1\\ -2 & -3 &-4} [/mm] $, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 08.01.2010 | | Autor: | egal |
ja darüber reden wir.... heißt das, dass ich die Matrix transponieren soll? hab ich nämlich nicht gemacht. Wäre mir auch neu, deshalb
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> ja darüber reden wir.... heißt das, dass ich die Matrix
> transponieren soll? hab ich nämlich nicht gemacht.
Nein!
Nur die richtige Zeilenstufenform ausrechnen.
Die war falsch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 08.01.2010 | | Autor: | egal |
[mm] \pmat{ 4 & 3 & 2\\ 0 & 3 &-6\\ 0& 0 & -12}
[/mm]
Bild: (4 0 0), (3 3 0),(2 -6 -12)
so müsste es sein, stimmts?
edit: sie sind natürlcih linear abhängig, sry
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> [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2\\ 0 & 3 &-6\\ 0& 0 & -12}[/mm]
>
> Bild: (4 0 0), (3 3 0),(2 -6 -12)
>
> so müsste es sein, stimmts?
>
> edit: sie sind natürlcih linear abhängig, sry
Hallo,
hier stimmt leider nichts:
1. Wenn die ZSF so aussähe, wie Du sie postet, dann wären die drei Vektoren linear unabhängig, denn der Rang Deiner Matrix =3, dh. 3 linear unabhängige Spalten.
2. Allerdings ist das da oben nicht die Zeilenstufenform der Matrix. Deine Matrix hat nämlich den Rang 2. Weiß der Geier, was du da gemacht hast - vermutlich einen Vorzeichenfehler oder sowas.
Eine (!) echte Zeilenstufenform Deiner Matrix A= $ [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2\\ 1 & 0 &-1\\ -2 & -3 &-4} [/mm] $ wäre
$ [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2\\ 1 & 0 &-1\\ -2 & -3 &-4} [/mm] $
[mm] \pmat{\red{1}&0&-1\\0&\red{-3}&-6\\0&0&0}.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2.Spalte, daher bilden die 1. und 2. Spalte der Ursprungsmatrix (!) eine Basis des Bildes von A.
Die Basis ist [b]nicht[/] [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\-3\\0} [/mm] !
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 10.01.2010 | | Autor: | egal |
ja natürlich... hatte n vorzeichenfehler.
ein bild einer matrix sind ja die unabhängigen spalten ... d.h. [mm] A\overrightarrow{e_1} [/mm] und [mm] A\overrightarrow{e_2} [/mm] sind das Bild!!!
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