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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:29 Do 08.11.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Innenproduktraum, [mm] \varphi [/mm] in End(V) ein Endomorphismus auf V und [mm] \varphi^{ad} [/mm] der zu [mm] \varphi [/mm] adjungierte Endomorphismus. Zeigen sie:
(a) Es gelten [mm] dim(Bild(\varphi))=dim(Blid(\varphi^{ad})) [/mm] und [mm] dim(Kern(\varphi))=dim(Kern(\varphi^{ad}))
[/mm]
(b) Es gelten [mm] Kern(\varphi)=(Bild(\varphi^{ad}))^\perp [/mm] und [mm] Kern(\varphi^{ad})=(Bild(\varphi))^\perp
[/mm]
(c) Ist [mm] \varphi [/mm] ein normaler Operator, so ist [mm] V=Kern(\varphi)\oplus Bild(\varphi) [/mm] |
Die (a) habe ich gelöst indem ich die Matrix und deren Rang und dessen Invarianz unter der Transposition und Adjungtion genutzt habe.
Bei der (b) habe ich mir überlegt, dass ja eigentlich zu zeigen ist:
[mm] \varphi(v)=0 \gdw =0 \forall [/mm] v in V, w in [mm] V\{Kern(\varphi^{ad})}
[/mm]
die "Hinrichtung" ist eigentlich trivial:
Vorauss. [mm] \varphi(v)=0
[/mm]
[mm] =<\varphi(v),w>=0 [/mm] , da eine komponente 0 ist.
Bei der "Rückrichtung" komme ich jedoch nicht weiter.
Ich habe mir überlegt, dass man ja wieder umformen kann:
[mm] =<\varphi(v),w>=0
[/mm]
d.h. ich muss ausschließen, dass w orthogonal zu v ist um darauf zu schließen dass [mm] \varphi(v)=0, [/mm] da [mm] w\not= [/mm] 0.
Aber wie mache ich das?
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß und Danke Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 10.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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