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| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung f mit f: [mm] C\\{0\} f(z)=\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z}).
[/mm]
Bestimmen sie das Bild des Einheitskreises |z|=1 |
Meine Idee ist folgende:
Es gilt ja : [mm] x^{2}+y^{2}=z^{2}, [/mm] also [mm] z=\wurzel(x^{2}+y^{2}).
[/mm]
Dies nun entstandene z setze ich in die Ausgangsfunktion ein .
Somit lautet diese: [mm] f(\wurzel(x^{2}+y^{2}))=\bruch{1}{2}(\wurzel(x^{2}+y^{2})+\bruch{1}{\wurzel(x^{2}+y^{2}})).
[/mm]
Ist der Ansatz soweit richtig?
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> Gegeben ist die Abbildung f mit f: [mm]C\\{0\} f(z)=\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z}).[/mm]
>
> Bestimmen sie das Bild des Einheitskreises |z|=1
Hallo,
man kann es nicht richtig lesen, aber es geht hier ja wohl um eine Abbildung [mm] f:\IC\\{0\}\to \IC.
[/mm]
> Meine Idee ist folgende:
> Es gilt ja : [mm]x^{2}+y^{2}=z^{2},[/mm]
Was meinst Du damit? Was sollen x und y sein?
Na gut, ich rate mal ein bißchen:
sei [mm] z\in \IC [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Dann gibt es [mm] x,y\in \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] mit z=x+iy.
Damit ist allerdings nicht [mm] z^2=x^2+y^2,
[/mm]
sondern [mm] z*\overline{z}=x^2+y^2,
[/mm]
und [mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2}.
[/mm]
Nun sollst Du ja schauen, auf welche Menge der Einheitskreis, also [mm] \{z\in \IC|\quad |z|=1\}, [/mm] abgebildet wird.
Sei also |z|=1.
Es ist
[mm] f(z)=\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(z+\bruch{\overline{z}}{z*\overline{z}})
[/mm]
=...
LG Angela
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