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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Fr 19.09.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Wie lässt sich die Bijunktion allein durch Negation und Disjunktion ausdrücken? |
Hallo Zusammen,
ich bin soweit gekommen:
(a [mm] \gdw [/mm] b) = [mm] (a\Rightarrow b)\wedge (b\Rightarrow [/mm] a) = [mm] (\overline{a}\vee b)\wedge (b\Rightarrow [/mm] a) = [mm] (\overline{a}\vee b)\wedge \overline{(\overline{a}\vee b)} [/mm] = [mm] (\overline{a}\vee b)\wedge (a\vee \overline{b})
[/mm]
bis jetzt müsste es noch stimmen, ich weiß jedoch nicht, wie ich die Und-Verknüpfungen zwischen den beiden Aussagen noch wegbekomme?
Vielen Dank
itse
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hallo itse
Es gilt [mm] p\wedge{q} [/mm] = [mm] \overline{\overline{p}\vee \overline{q}}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Fr 19.09.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Es gilt [mm]p\wedge{q}[/mm] = [mm]\overline{\overline{p}\vee \overline{q}}[/mm]
das wollte ich auch anwenden, dann kam mir aber die Idee, dass sich somit die Und-Verknüpfung zwischen den beiden Termen in eine Oder-Verknüpfung wandelt, und in den beiden Termen nun eine Und-Verknüpfung vorkommt.
Nun probiere ich es mal und schreibe es so:
x = [mm] $(\overline{a}\vee [/mm] b)$
y = [mm] $(a\vee \overline{b})$
[/mm]
Für den Gesamtausdruck ergibt sich: [mm] $x\wedge [/mm] y = [mm] \overline{(\overline{x}\vee \overline{y})}$. [/mm] Nun die beiden Teilausdrücke einsetzen:
[mm] $\overline{(\overline{(\overline{a}\vee b)}\vee \overline{(a\vee \overline{b})})} [/mm] = [mm] (\overline{a}\vee b)\vee (a\vee \overline{b})$
[/mm]
Dann stimmt es aber nicht mehr, wo liegt mein Fehler?
Gruß
itse
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> Hallo,
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> > Es gilt [mm]p\wedge{q}[/mm] = [mm]\overline{\overline{p}\vee \overline{q}}[/mm]
>
> das wollte ich auch anwenden, dann kam mir aber die Idee,
> dass sich somit die Und-Verknüpfung zwischen den beiden
> Termen in eine Oder-Verknüpfung wandelt, und in den beiden
> Termen nun eine Und-Verknüpfung vorkommt.
>
> Nun probiere ich es mal und schreibe es so:
>
> x = [mm](\overline{a}\vee b)[/mm]
> y = [mm](a\vee \overline{b})[/mm]
>
> Für den Gesamtausdruck ergibt sich: [mm]x\wedge y = \overline{(\overline{x}\vee \overline{y})}[/mm].
> Nun die beiden Teilausdrücke einsetzen:
>
> [mm]\overline{(\overline{(\overline{a}\vee b)}\vee \overline{(a\vee \overline{b})})} = (\overline{a}\vee b)\vee (a\vee \overline{b})[/mm]
>
> Dann stimmt es aber nicht mehr, wo liegt mein Fehler?
im allerletzten Schritt !
der Term [mm]\overline{(\overline{(\overline{a}\vee b)}\vee \overline{(a\vee \overline{b})})}[/mm]
hat doch schon die gewünschte Form !
und der Schluss der Form [mm] \overline{\overline{p}\vee \overline{q}}=p\vee{q},
[/mm]
den du dann im letzten Schritt noch machst, ist falsch
N.B.: in deiner ursprünglichen Frage fehlte irgendwo ein Querstrich
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 19.09.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> im allerletzten Schritt !
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> der Term [mm]\overline{(\overline{(\overline{a}\vee b)}\vee \overline{(a\vee \overline{b})})}[/mm]
>
> hat doch schon die gewünschte Form !
>
> und der Schluss der Form [mm]\overline{\overline{p}\vee \overline{q}}=p\vee{q},[/mm]
>
> den du dann im letzten Schritt noch machst, ist falsch
ich dachte, ich könnte dieses anwenden [mm] \overline{(\overline{a})} [/mm] = a. Kann man dieses Gesetz nur bei einem Wert anwenden und nicht bei einem Gesamtausdruck?
Vielen Dank
itse
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> [mm]\overline{(\overline{a})}[/mm] = a. Kann man dieses Gesetz nur
> bei einem Wert anwenden und nicht bei einem
> Gesamtausdruck?
Genau diese Aufgabe zeigt nebenbei, dass dies offenbar nicht geht !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > im allerletzten Schritt !
> >
> > der Term [mm]\overline{(\overline{(\overline{a}\vee b)}\vee \overline{(a\vee \overline{b})})}[/mm]
>
> >
> > hat doch schon die gewünschte Form !
> >
> > und der Schluss der Form [mm]\overline{\overline{p}\vee \overline{q}}=p\vee{q},[/mm]
>
> >
> > den du dann im letzten Schritt noch machst, ist falsch
>
> ich dachte, ich könnte dieses anwenden
> [mm]\overline{(\overline{a})}[/mm] = a. Kann man dieses Gesetz nur
> bei einem Wert anwenden und nicht bei einem
> Gesamtausdruck?
na, eine bekannte Regel lautet doch z.B.:
[mm] $\overline{p \vee q}=\overline{p} \wedge \overline{q}$.
[/mm]
Wenn Du dort [mm] $\black{p}$ [/mm] durch [mm] $\overline{p}$ [/mm] und [mm] $\black{q}$ [/mm] durch [mm] $\overline{q}$ [/mm] ersetzt, folgt:
[mm] $\overline{\overline{p} \vee \overline{q}}=\overline{\overline{p}} \wedge \overline{\overline{q}}$.
[/mm]
Weil jetzt [mm] $\overline{\overline{p}}=p$ [/mm] (und analoges für [mm] $\black{q}$) [/mm] gilt, erhälst Du damit:
[mm] $\overline{\overline{p} \vee \overline{q}}=\overline{\overline{p}} \wedge \overline{\overline{q}}=p \wedge [/mm] q$.
Und $p [mm] \wedge [/mm] q$ ist offensichtlich was anderes wie $p [mm] \vee [/mm] q$. 
P.S.:
Die Regel [mm] $\overline{\overline{a}}$ [/mm] läßt sich auch bei einem "Gesamtausdruck" anwenden, nur muss der Querstrich dann auch über dem gesamten [mm] $\black{a}$ [/mm] stehen, und das ist bei Dir nicht gegeben; ich hoffe, die folgende Erläuterung macht Dir klarer, was und wie ich das meine:
Schauen wir uns das mal an:
Es soll gelten
[mm] $\overline{\overline{a}}=\overline{\overline{p}\vee \overline{q}}\,.$
[/mm]
Hier ist der obere Querstrich über [mm] $\overline{a}=\overline{p} \vee \overline{q}$, [/mm] und die Gleichung [mm] $\overline{a}=\overline{p} \vee \overline{q}$ [/mm] zeigt uns noch nicht direkt an, was [mm] $\black{a}$ [/mm] sein soll; der Querstrich rechterhand ist "unterbrochen" (bzw. besser gesagt: rechterhand gibt es "zwei" Querstriche, die man nicht einfach zu einem verbinden darf/kann).
Wenn wir allerdings die bekannte Regel [mm] $\overline{p} \vee \overline{q}=\overline{p \wedge q}$ [/mm] anwenden, so erkennen wir, dass wir $a=p [mm] \wedge [/mm] q$ setzen können. Dann gilt:
[mm] $\overline{\overline{p}\vee \overline{q}}=\overline{\overline{p \wedge q}}=p \wedge [/mm] q$. Es ist also wichtig, dass Du darauf achtest, die Formeln wirklich so anzuwenden, wie sie da stehen
Gruß,
Marcel
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