Bijektivität zeigen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei M = [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass
f : [mm] M^{2} \to M^{2}; [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (2x+3y;4x+5y)
bijektiv ist. Begründen Sie, warum die Abbildung für M = [mm] \IZ [/mm] nicht bijektiv ist. |
Hallo.
Wie soll man das machen???
Also, wie zeigt man surjektiv und injektiv (allgemein ist mir das wirklich klar, nur hier hab ich Probleme). Eine Umkehrfunktion ginge ja auch, aber da finde ich auch keinen Ansatz. :(
Danke schonmal.
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Hallo Solrakt,
> Sei M = [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass
> f : [mm]M^{2} \to M^{2};[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (2x+3y;4x+5y)
> bijektiv ist. Begründen Sie, warum die Abbildung für M =
> [mm]\IZ[/mm] nicht bijektiv ist.
> Hallo.
>
> Wie soll man das machen???
Na, nimm an, sie wäre bijektiv, also insbesondere surjektiv
Dann gäbe es zu jedem [mm](a,b)\in\IZ^2[/mm] (aus dem Bildbereich) ein [mm](x,y)\in\IZ^2[/mm] (aus dem Urbildbereich) mit
[mm]f(x,y)=(a,b)[/mm]
Suche dir einfache [mm]a,b\in\IZ[/mm], so dass es dazu kein Urbild [mm](x,y)\in\IZ^2[/mm] gibt.
Du kannst "blind" suchen oder rechnst dir mal zB. [mm]f(1,1)=...[/mm] aus und wandelst das Bild etwas ab und suchst dazu ein Urbild (das es nicht gibt (in [mm]\IZ^2[/mm])) ...
>
> Also, wie zeigt man surjektiv und injektiv (allgemein ist
> mir das wirklich klar, nur hier hab ich Probleme). Eine
> Umkehrfunktion ginge ja auch, aber da finde ich auch keinen
> Ansatz. :(
>
> Danke schonmal.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke vielmals. Aber wie kann ich die Bij. für [mm] \IR [/mm] zeigen?
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Hallo nochmal,
> Danke vielmals. Aber wie kann ich die Bij. für [mm]\IR[/mm] zeigen?
Ahso, das hatte ich ganz überlesen.
Für die Surjektivität mache den üblichen Ansatz.
Wähle dir ein bel. [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] (dem Bildbereich) und zeige, dass es ein [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] gibt mit $f(x,y)=(a,b)$
Also $(2x+3y,4x+5y)=(a,b)$
Wann sind zwei Vektoren gleich?
Also ...
Bestimme $x$ und $y$ in Abh. von $a,b$
Injektivität auch wie üblich.
Nimm dir [mm] (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in\IR^2$ [/mm] (aus dem Urbildbereich) her mit [mm] $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$, [/mm] also ...
Zeige, dass dann [mm] $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$
[/mm]
Wieder die Frage, wann zwei Vektoren gleich sind...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke wieder.
Salopp formuliert würde ich das so machen (formal kann ich das und kriege auch keine Abzüge mehr wegen solchen Sachen ;) )
Also, Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sein. Das hat mich anfangs irgendwie verwirrt.
Surj.:
Ich muss (x,y) finden, damit f(x,y) = (a,b)
Also:
2x+3y=a
4x+5y=b
Kann ich jetzt die erste Gleichung einfach nach x und die zweite nach y auflösen?
Inj.
2x + 3y = 2x* + 3y*
Hmm..hier hab ich irgendwie Probleme.
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Hallo nochmal,
> Danke wieder.
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> Salopp formuliert würde ich das so machen (formal kann ich
> das und kriege auch keine Abzüge mehr wegen solchen Sachen
> ;) )
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> Also, Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich
> sein. Das hat mich anfangs irgendwie verwirrt.
>
>
> Surj.:
>
> Ich muss (x,y) finden, damit f(x,y) = (a,b)
>
> Also:
>
> 2x+3y=a
> 4x+5y=b
>
> Kann ich jetzt die erste Gleichung einfach nach x und die
> zweite nach y auflösen?
Du musst $x,y$ in Abh. von $a$ und $b$ finden.
Ich würde das -2fache der 1.Gleichung auf die 2-Gleichung addieren
>
>
> Inj.
>
> 2x + 3y = 2x* + 3y*
>
> Hmm..hier hab ich irgendwie Probleme.
Du hast noch eine weitere Gleichung.
Dann analog zur Surj. umformen
Gruß
schachuzipus
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