Bijektivität von k-Tupel Funkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 05.06.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Ein k-Tupel [mm] (a_{1}, [/mm] ... [mm] ,a_{k}) [/mm] von Zahlen heißt monoton , wenn für alle j [mm] \in \IN _{\le k-1} [/mm] gilt: [mm] a_{j}\le a_{j+1}.
[/mm]
Die Menge der monotonen k-Tupel aus [mm] \IN_{\le n} [/mm] wird mit [mm] M(\IN_{\le n}^{k}) [/mm] bezeichnet. Ein monotones Tupel, das zusätzlich injektiv ist, heißt streng monoton . Die Menge der streng monotonen k-Tupel aus [mm] \IN_{\le n} [/mm] ist also [mm] M(\IN_{\le n}^{k}) \cap J(\IN_{\le n}^{k}).
[/mm]
Sie wird kurz mit [mm] SM(\IN_{\le n}^{k}) [/mm] bezeichnet.
Man zeige für alle k,n [mm] \in \IN, [/mm] dass die Abbildung
[mm] f:M(\IN_{\le n}^{k}) \to SM(\IN_{\le n+k-1}^{k})
[/mm]
[mm] (a_{1}, a_{2}, [/mm] ... [mm] ,a_{k}) \mapsto (a_{1}, a_{2}+1, [/mm] ... [mm] ,a_{k}+k-1)
[/mm]
bijektiv ist. |
Hallo,
Ich habe einige Probleme mit der Herangehensweise an diese Aufgabe, nicht nur,dass ich noch nie was von einem Tupel gehört habe...
Soll ich die Bijektivität irgendwie mit der Mächigkeit [mm] (\sim) [/mm] bewiesen oder mit Injektivität und Surjektivität? Aber auch dann weiß ich nicht,wie genau ich das machen soll...
Eindeutige, reichliche Hilfe wäre sehr nett...
Danke schön.....
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Hiho,
es ist nicht schwer zu zeigen, daß die Funktion injektiv und surjektiv ist.
Für dich als Erleichterung: Ein n-Tupel ist nichts weiter als eine n-elementige "Menge" von Zahlen (wobei der Begriff "Menge" nicht ganz zutreffend ist).
So ist z.B. (1,2,3) ein 3-Tupel von natürlichen Zahlen, ebenso ist jeder Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] ein 3-Tupel.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Tvenna |
Hallo!
Ich muss dieselbe Aufgabe lösen und habe auch noch keine rechte Ahnung, nur weiß ich jetzt was ich mir unter einem Tupel vorstellen muss.
Kann mir einer vielleicht mal die Abbildung beschreiben, die es zu zeigen gilt?Ich komme irgendwie mit der Schreibweise nicht klar.. :-( Denn wenn ich die verstanden habe dann komme ich sicher auch weiter. Dieses ^k irritiert mich da...
Dankeschön!
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Nehmen wir monotone Quadrupel (4-Tupel): die Zahlen werden von links nach rechts gelesen also niemals kleiner, und wenden wir die Abbildung darauf an:
[mm](2,3,3,5) \mapsto (2,4,5,8)[/mm]
[mm](2,3,4,4) \mapsto (2,4,6,7)[/mm]
[mm](4,4,4,4) \mapsto (4,5,6,7)[/mm]
[mm](1,2,5,9) \mapsto (1,3,7,12)[/mm]
Du siehst, die Abbildung macht daraus streng monotone Quadrupel: die Zahlen werden von links nach rechts gelesen echt größer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Tvenna |
Ah, dankeschön, jetzt habe ich also die Abbildung zumindest verstanden.
Du hast dir ja jetzt ein Quadrupel genommen und die Abbildung darauf angewendet.
Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp/Wegweiser geben, wie ich das allgemein zeigen kann?
Ein Beispiel wird da sicher nicht genügen,oder?
dankeschön..
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Hallo,
das geht wie bei allen Funktionen, bei denen Du zeigen sollst, daß sie bijektiv sind.
Du mußt die Surjektivität zeigen und die Injektivität.
Es ist ja
$ [mm] f:M(\IN_{\le n}^{k}) \to SM(\IN_{\le n}^{n+k-1}) [/mm] $
$ [mm] (a_{1}, a_{2}, [/mm] $ ... $ [mm] ,a_{k}) \mapsto (a_{1}, a_{2}+1, [/mm] $ ... $ [mm] ,a_{k}+k-1) [/mm] $.
Beim Zeigen der beiden Eigenschaften wirst Du sehr wahrscheinlich die "Machart" der Elemente aus [mm] M(\IN_{\le n}^{k}) [/mm] und [mm] SM(\IN_{\le n}^{n+k-1}) [/mm] ausnutzen müssen.
Zur Surjektivität: Du nimmst Dir ein k-Tupel [mm] (b_1,...,b_k) \in SM(\IN_{\le n}^{n+k-1}), [/mm] und überlegst Dir, welches k-Tupel darauf abgebildet wird, und ob dieses wirklich aus aus [mm] M(\IN_{\le n}^{k}) [/mm] ist.
Für die Injektivität ist zu zeigen, daß sofern für [mm] (a_1,...a_k), (b_1,...b_k) \in [/mm] aus [mm] M(\IN_{\le n}^{k}) [/mm] gilt
[mm] f(a_1,...a_k)=f(b_1,...b_k),
[/mm]
daraus die Gleichheit beider Tupel folgt, also [mm] (a_1,...a_k)=(b_1,...b_k).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 10.06.2007 | | Autor: | annklo |
Vielen Dank schonmal für die vielen Tipps!
Aber irgendwie komme ich damit immewr noch nicht all zu weit
> Zur Surjektivität: Du nimmst Dir ein k-Tupel [mm](b_1,...,b_k) \in SM(\IN_{\le n}^{n+k-1}),[/mm]
> und überlegst Dir, welches k-Tupel darauf abgebildet wird,
> und ob dieses wirklich aus aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm] ist.
wie bestimme ich denn dieses k-Tupel? ist es vielleicht [mm] (b_{1},b_{2}-1,....,b_{k}-k+1 [/mm] ? oder denke ich total falsch? und woran seh ich, dass es wirklich aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm] ist?
> Für die Injektivität ist zu zeigen, daß sofern für
> [mm](a_1,...a_k), (b_1,...b_k) \in[/mm] aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm]
> gilt
>
> [mm]f(a_1,...a_k)=f(b_1,...b_k),[/mm]
>
> daraus die Gleichheit beider Tupel folgt, also
> [mm](a_1,...a_k)=(b_1,...b_k).[/mm]
Wie komm ich denn von [mm](a_1,...a_k), (b_1,...b_k) \in[/mm] aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm] nach [mm]f(a_1,...a_k)=f(b_1,...b_k),[/mm]? Setz ich [mm] (a_1,...a_k), (b_1,...b_k) [/mm] in [mm] M(\IN_{\le n}^{k}) [/mm] ein? wenn ja wie?
Für nochmalige Erklärung wäre ich sehr dankbar.
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> > Zur Surjektivität: Du nimmst Dir ein k-Tupel [mm](b_1,...,b_k) \in SM(\IN_{\le n}^{n+k-1}),[/mm]
> > und überlegst Dir, welches k-Tupel darauf abgebildet wird,
> > und ob dieses wirklich aus aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm] ist.
>
> wie bestimme ich denn dieses k-Tupel? ist es vielleicht
> [mm](b_{1},b_{2}-1,....,b_{k}-k+1[/mm] ?
Hallo,
klar! Wenn Du darauf die Abbildung anwendest, landest Du bei [mm] (b_1,...,b_n).
[/mm]
> und woran seh ich, dass es wirklich aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm]
> ist?
Dazu mußt Du nun überprüfen, ob [mm] b_{1}\le b_{2}-1\le....\le b_{k}-k+1 [/mm] ist.
Hierbei ist zu berücksichtigen, daß [mm] (b_1, ...,b_n) [/mm] n.V. ein streng monotones Tupel ist, d.h. [mm] b_1
>
> > Für die Injektivität ist zu zeigen, daß sofern für
> > [mm](a_1,...a_k), (b_1,...b_k) \in[/mm] aus [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm]
> > gilt
> >
> > [mm]f(a_1,...a_k)=f(b_1,...b_k),[/mm]
> >
> > daraus die Gleichheit beider Tupel folgt, also
> > [mm](a_1,...a_k)=(b_1,...b_k).[/mm]
>
> Wie komm ich denn von [mm](a_1,...a_k), (b_1,...b_k) \in[/mm] aus
> [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm] nach [mm]f(a_1,...a_k)=f(b_1,...b_k),[/mm]? Setz
> ich [mm](a_1,...a_k), (b_1,...b_k)[/mm] in [mm]M(\IN_{\le n}^{k})[/mm] ein?
Diese Frage ist sinnlos. Wie willst Du Tupel in eine MENGE einsetzen???
(Der wahre Kern: [mm] (a_1,...a_k), (b_1,...b_k)\in[/mm] [mm][mm] M(\IN_{\le n}^{k}))
[/mm]
Nein, da Du mit [mm] f(a_1,...a_k)=f(b_1,...b_k) [/mm] arbeiten möchtest, ist es doch naheliegend, die Funktionsvorschrift auf diese beiden Tupel anzuwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 10.06.2007 | | Autor: | annklo |
ich bin es nocheinmal
wie genau wende ich die funktionsvorschrift darauf an?
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> ich bin es nocheinmal
> wie genau wende ich die funktionsvorschrift darauf an?
Genau wie immer.
Wenn da steht [mm] f(x)=x^3+7, [/mm] und Du willst den Funktionswert an der Stelle a wissen, setze Du a ein: [mm] f(a)=a^3+7.
[/mm]
Deine aktuelle Funktionsvorschrift lautet
$ [mm] (a_{1}, a_{2}, [/mm] $ ... $ [mm] ,a_{k}) \mapsto (a_{1}, a_{2}+1, [/mm] $ ... $ [mm] ,a_{k}+k-1) [/mm] $
Die erste Komponente des Bildes ist = der ersten des Argumentes,
die zweite des Bildes =zweite des Argumentes +1 usw.
Den Funktionswert für [mm] (a_1,...a_k) [/mm] kannst Du ja sogar direkt ablesen, und der Transfer auf [mm] (b_1,...,b_k) [/mm] ist doch wirklich keine Kunst... Oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Tvenna |
Hallo, ich habe auch noch mal eine Frage zur Injektivität:
Wenn ich die Funktionsvorschrift anwende, folgt dann automatisch die Gleichheit der der Tupel?
f(a1)=a1 f(b1)=b1
f(a2)=a2+1 f(b2)=b2-1
f(ak)=ak+k-1 f(bk)=bk-k+1)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(a1,...,ak) = f(b1,.....,bk) [mm] \Rightarrow [/mm] (a1,...,ak) = (b1,....bk) ??
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> Hallo, ich habe auch noch mal eine Frage zur Injektivität:
> Wenn ich die Funktionsvorschrift anwende, folgt dann
> automatisch die Gleichheit der der Tupel?
> f(a1)=a1 f(b1)=b1
> f(a2)=a2+1 f(b2)=b2-1
> f(ak)=ak+k-1 f(bk)=bk-k+1)
Hallo,
ich verstehe natürlich, was Du mit dem, was Du da oben schreibst, meinst - aber es ist Unfug.
Denn die zur Debatte stehende Funktion f ist ja nicht für einzelne Elemente aus [mm] \IN [/mm] erklärt, sondern eben für k_Tupel von Zahlen aus [mm] \IN.
[/mm]
Es heißt
> [mm] \Rightarrow[/mm] [/mm] f(a1,...,ak) = f(b1,.....,bk) [mm]\Rightarrow[/mm]
==> (durch Anwenden der Funktionsvorschrift)
[mm] (a_{1}, a_{2}+1, [/mm] ... [mm] ,a_{k}+k-1)=b_{1}, b_{2}+1, [/mm] ... [mm] ,b_{k}+k-1)
[/mm]
==> (Tupel sind gleich, wenn die Komponenten jeweis gleich sind
[mm] a_1=b-1 [/mm] und [mm] a_2+1=b_2+1 [/mm] und ... und [mm] a_{k}+k-1=b_{k}+k-1
[/mm]
==> ...
==>
> (a1,...,ak) = (b1,....bk) .
Gruß v. Angela
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