Bijektivität und S_n < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 So 21.05.2006 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | Sei n >= 2 eine natürliche Zahl und sei [mm] S_n [/mm] die Gruppe der Permutationen von {1,2,...,n}. Es bezeichne [mm] \alpha [/mm] den n-Zyklus (1,2,...,n) und H die von [mm] \alpha [/mm] erzeugt Untergruppe in [mm] S_n, [/mm] ferner sei
G = { [mm] \delta \in S_n; \delta(n) [/mm] = n }
Zeigen Sie:
a)Die Multiplikationsabbildung
HxG [mm] \to S_n, (\alpha^l, \delta) \to \alpha^l\delta [/mm]
ist bijektiv.
b)Für n>=4 ist H kein Normalteiler von [mm] S_n.
[/mm]
c) Zu jedem [mm] \delta \in [/mm] G und jedem l mit 1 [mm] \lel \len [/mm] existiert ein [mm] \beta \in [/mm] G mit [mm] \delta\alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^{\delta(l)}\beta.
[/mm]
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Meine Frage bezieht sich auf Teilaufgabe a).
Bijektiv heißt injektiv und surjektiv. Surjektiv konnte ich zeigen. Für die Injektivität erinnerte ich mich an folgendes:
Eine Abbildung ist injektiv [mm] \gdw [/mm] ihr Kern trivial ist. Das lässt sich auch sehr schön zeigen, der Kern ist trivial.
Leider gilt diese [mm] \gdw-Beziehung [/mm] nur für Homomorphismen! Und meine Abbildung kein Homomorphismus.
Wie könnte ich bitte sonst noch die Injektivität zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag,
zur Injektivität:
Sei [mm] \alpha_1\circ \delta_1 =\alpha_2\circ\delta_2, [/mm] dann bestimmt sich aus dem Bild von n schon das Element [mm] \alpha_1=\alpha_2 [/mm] eindeutig, richtig ?
Dann folgt aber auch direkt [mm] \delta_1=\delta_2.
[/mm]
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 22.05.2006 | | Autor: | julia.k |
Hallo!
Erstmal danke für deine Hilfe! Aber ich verstehe sie nicht ganz:
Injektiv heißt:
aus [mm] \alpha_1^l\delta_1=\alpha_2^m\delta [/mm] folgt [mm] (\alpha_1,\delta_1)=(\alpha_2,\delta_2)
[/mm]
du meinst:
Sei [mm] \alpha_1\circ\delta_1=\alpha_2\circ\delta_2 [/mm] , dann bestimmt sich aus dem Bild von n schon das Element eindeutig
Meinst du mit n so ein Zweitupel [mm] (\alpha_1, \delta_1) [/mm] ?
Und wieso soll dann daraus folgen [mm] \alpha_1=\alpha_2 [/mm] ? Kann deiner Idee leider überhaupt nicht folgen.
Du verwendest für deine Antwort ausserdem nur [mm] \alpha^1 [/mm] und nicht wie [mm] \alpha^l. [/mm] Das ist mir auch nicht ganz klar.
Würde mich sehr freuen, wenn du mir noch mal weiterhelfen könntest!
LG
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Grüße!
Ok, ich versuche mal, die (richtige) Lösung meines Vor-Posters zu erläutern. 
Zunächst mal hat er [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] geschrieben und meint damit beliebige Elemente von $H$ - genausogut hätte er [mm] $\alpha^l$ [/mm] und [mm] $\alpha^m$ [/mm] schreiben können.
Gemeint ist also folgendes: sind zwei Tupel [mm] $(\alpha^l, \delta_1)$ [/mm] und [mm] $(\alpha^m, \delta_2)$ [/mm] gegeben, so dass [mm] $\alpha^l \circ \delta_1 [/mm] = [mm] \alpha^m \circ \delta_2$, [/mm] dann soll gezeigt werden, dass die Tupel gleich sind.
Aber beides sind ja Permutationen auf der Menge mit $n$ Elementen und man betrachtet einfach, was mit dem Element $n$ geschieht. Aufgrund der Annahme weiß man, dass [mm] $\delta_1(n) [/mm] = n$ und [mm] $\delta_2(n) [/mm] = n$, da [mm] $\delta_1, \delta_2 \in [/mm] G$, also folgt:
[mm] $\alpha^l(n) [/mm] = [mm] \alpha^l \circ \delta_1(n) [/mm] = [mm] \alpha^m \circ \delta_2(n) [/mm] = [mm] \alpha^m(n)$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $\alpha$ [/mm] aber genau die Permutation, die diese Menge von $n$ Elementen zyklisch verschiebt. Wenn beide Potenzen von [mm] $\alpha$ [/mm] das letzte Element $n$ also auf das gleiche abbilden, folgt $l [mm] \equiv [/mm] m (n)$, bzw. einfach [mm] $\alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^m$, [/mm] da [mm] $\alpha$ [/mm] ja Ordnung $n$ hat.
Da Du nun weißt, dass [mm] $\alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^m$ [/mm] gilt, musst Du die Gleichung nur noch von links mit dem Inversen dieser Permutation verknüpfen und erhältst [mm] $\delta_1 [/mm] = [mm] \delta_2$. [/mm] Ganz einfach, oder? :)
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Di 23.05.2006 | | Autor: | julia.k |
Hallo und guten Morgen!!!
Ich hab's verstanden! Danke für die 1a-spitzenklasse-Erklärung!
Schönen Tag noch,
Steffi
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