Bijektivität komplexer Funktio < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 27.11.2005 | | Autor: | veloxid |
Hi
Ich hab soll folgende Funktion auf injektiv, surjektiv und bijektiv untersuchen.
Hab es aber nicht hinbekommen die Funktion so umzuformen, dass man das alles sehen kann.
Hier die Funktion:
f: [mm] \IC \backslash {z_{0}}\to \IC, z\mapsto \bruch{z+z_{0}}{z-z_{0}} [/mm] wobei [mm] z_{0} \in\IC
[/mm]
Kann mir da irgendjemand helfen und mir nen Tipp geben wie ich sowas lösen muss? Hab das Problem bei reelen Funktionen nicht gehabt, sondern nur bei komplexen Funktionen.
Gruss Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 So 27.11.2005 | | Autor: | kunzm |
Hallo Felix,
wenn du Injektivität und Surjektivität nachgewiesen hast, ist die Funktion per definitionem bijektiv. Da [mm]f[/mm] auf [mm]\mathbb{C}[/mm] ohne [mm]z_{0}[/mm] stetig ist, musst Du für die Injektivität von [mm]f[/mm] (z.B. durch Gleichsetzen) beweisen, dass
[mm]f(z)\not= f(z') \forall z\not=z'[/mm], [mm]z,z'\in \mathbb{C}[/mm].
Dabei würde ich [mm]z=a+ib[/mm], [mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm] verwenden.
Surjektivität kann man wie folgt definieren:
[mm]f:X \rightarrow Y[/mm], [mm]X[/mm], [mm]Y[/mm] beliebig. Ist [mm]f(X)=Y[/mm], gibt es also zu jedem [mm]y\in Y[/mm] mindestens ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm] heißt [mm]f[/mm] surjektiv.
Gruß, Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:03 Mo 28.11.2005 | | Autor: | veloxid |
HI
Ich hab durch lösen der Gleichung f(x)=f(y) rausgefunden dass x=y sein muss.
Daher bin ich schon mal weiter gekommen.
Meine Überlegungen zur Bijektivität sahen folgender maßen aus:
ich suche mir die Umkehrabbildung. und kann daran dann sehen, dass sie nicht surjektiv ist. Weil die Umkehrabbildung bei einem wert nicht definiert ist.
Ist solch ein vorgehen in ordnung?
gruss Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:14 Mi 30.11.2005 | | Autor: | felixf |
Hi,
> Ich hab durch lösen der Gleichung f(x)=f(y) rausgefunden
> dass x=y sein muss.
Fuer jedes [mm] $z_0$?!
[/mm]
> Daher bin ich schon mal weiter gekommen.
> Meine Überlegungen zur Bijektivität sahen folgender maßen
> aus:
>
> ich suche mir die Umkehrabbildung. und kann daran dann
> sehen, dass sie nicht surjektiv ist. Weil die
> Umkehrabbildung bei einem wert nicht definiert ist.
> Ist solch ein vorgehen in ordnung?
Ich denke ja. Aufschreiben wuerd ich es allerdings wie folgt: gib an, welcher Wert nicht angenommen wird (das hast du ja rausgefunden, und falls es mehrere sind nimm den bei dem man es am einfachsten zeigen kann) und beweise diese Aussage.
HTH Felix
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