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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Do 22.01.2009 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | | f: A [mm] \to [/mm] B, wobei a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B |
Hallo zusammen,
ich bin mir gerade den Kopf am zerbrechen:
Auf meinem Blatt steht:
f(a) = [mm] f^{-1}(a)
[/mm]
Und ich kann dem einfach nicht folgen. Kann mir jemand helfen?
f(a) = b
und [mm] f^{-1}(b) [/mm] = a
aber wie kommt man auf f(a) = [mm] f^{-1}(a)??
[/mm]
P.s habe die Frage auf keinem anderen Forum gepostet.
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Hallo [mm] Giorda_N,
[/mm]
da kommt man nicht drauf, das ist offenbar gegeben und eine besondere Eigenschaft Deiner Abbildung.
Jetzt wo ich gerade am Antworten tun am dran sein bin, kann ich ja ohne das Blatt zum Lesen zu haben, auch einen Dreckfuhler nich ausschließen.
Glücklicherweise ist das ja kein Deutsch-Forum hier...
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 22.01.2009 | | Autor: | Giorda_N |
Nein es ist keine Eigenschaft, denn das ist meine Lösung....und die wurde so als richtig korrigiert und ich begreife einfach nicht mehr wie ich auf das gekommen bin.....
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Auch nicht schlecht... 
Das gilt ja nicht im allgemeinen, sondern genau dann, wenn f(a)=a.
Um das nachzuvollziehen, müsstest Du dann doch mal die Funktion verraten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Do 22.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du da drauf gekommen bist, kann man nicht wissen, wenn man die Aufgabe, die du geloest hast nicht kennt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 22.01.2009 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Ihr Zwei,
Ich bin jetzt in den Semsterferien und mache alle meine Aufgaben nochmals durch. Genau zu dieser Aufgabe habe ich schon mal was gepostet (siehe Link in der Aufgabenstellung)
Die eine Richtung des Beweises hat mir ArthurDayne gegeben. Anschliessend habe ich die andere Richtung gemacht und bei der Korrektur dieser Übung habe ich nur Häcken gekriegt und volle Punktzahl, weshalb ich davon ausgehe das es richtig sein muss.
Also ich schreibe Euch mal diesen Weg auf und markiere mit rot, wo mein Problem liegt:
Zu zeigen:
(b bijektiv ^c bijektiv) [mm] \Rightarrow [/mm] (d injektiv) [mm] \Rightarrow [/mm] (a injektiv)
Beweis:
Sei [mm] a_{1}, a_{2} \in [/mm] A mit [mm] a_{1} \not= a_{2}
[/mm]
Zu zeigen: [mm] a(a_{1}) \not= a(a_{2})
[/mm]
Es ist c bijektiv folgt:
[mm] \exists b_{1}, b_{2} \in [/mm] B mit [mm] b_{1} \not= b_{2}
[/mm]
[mm] c^{-1}: [/mm] D [mm] \to [/mm] B, [mm] d_{i} \mapsto c^{-1}(b_{i}). [/mm] Daraus folgt
[mm] c^{-1}(b_{1} [/mm] = [mm] b_{1} \not= b_{2} [/mm] = [mm] c^{-1}(b_{2}). [/mm]
Somit [mm] c(b_{1}) [/mm] = [mm] c^{-1}(b_{1}) [/mm]
Es ist d injektiv:
[mm] c_{1},c_{2} \in [/mm] C mit [mm] c_{1} \not= c_{2}
[/mm]
Also: [mm] d(c_{1}) [/mm] = [mm] d_{1} \not= d_{2} [/mm] = [mm] d(c_{2})
[/mm]
Es ist b bijektiv:
[mm] b(a_{1}) [/mm] = [mm] c_{1} \not= c_{2} [/mm] = [mm] b(a_{2}) [/mm] und
[mm] b^{-1}: [/mm] C [mm] \to [/mm] A, [mm] c_{i} \mapsto b^{-1}(a_{i})
[/mm]
Daraus folgt [mm] b^{-1}(a_{1}) [/mm] = [mm] a_{1} \not= a_{2} [/mm] = [mm] b^{-1}(a_{2})
[/mm]
Mit der Voraussetzung c [mm] \circ [/mm] a = d [mm] \circ [/mm] b folgt:
[mm] a(a_{1}) [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] = [mm] c^{-1}(b_{1}) [/mm] = [mm] c(b_{1}) [/mm] = d [mm] \circ b(b_{1}) [/mm] = [mm] b(d(c_{1}) [/mm] = [mm] d_{1} \not= d_{2} [/mm] = d [mm] \circ b(b_{2}) [/mm] = [mm] c(b_{2}) [/mm] = [mm] c^{-1}(b_{2}) [/mm] = [mm] a(a_{2})
[/mm]
Also ist gezeigt: [mm] a(a_{1}) \not= a(a_{2})
[/mm]
Deshalb ist a injektiv.
Ich hoffe ihr könnt mir es erklären.
Lieben Dank.
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Hallo Giorda_N,
dieser Beweis ist falsch.
Die beiden Teile zu Bijektivität enthalten grundlegende Fehler, die nicht als Tippfehler zu deuten sind.
Das wird u.a. in der zusammenfassenden Gleichungskette deutlich. Zu zeigen war Ungleichheit!
Dass Du volle Punktzahl und Häkchen bekommen hast, ist ein Indiz für die Überarbeitung der Korrigierenden, aber keineswegs ein Beleg für die Richtigkeit der Beweisführung.
Du hast daher völlig Recht, an der rot markierten Zeile zu zweifeln. Sie ist nicht zu belegen.
Mal ganz platt: A und C haben die gleiche Mächtigkeit und eine eindeutige, bijektive Zuordnung ihrer Elemente. Gleiches gilt für B und D. Nun ist zu zeigen, dass B mächtiger ist als A genau dann, wenn D mächtiger ist als B. Dies geschieht über weitere Zuordnungen zwischen A und B bzw. C und D, die injektiv sind.
Du könntest auf (fast) gleichem Wege den gleichen Sachverhalt bezüglich der Surjektivität zwischen zwei "parallelen" Zuordnungen zeigen, wobei sich das Bildwort "parallel" hier auf die Grafik von Arthur Dayne (hier) bezieht.
Sorry.
lg,
reverend
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