Bijektive Abbildungen R>R+ < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wir hatten gerade in der Vorlesung ein Beispiel für bijektive Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR^+ [/mm] :
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{2}, & \mbox{für } 0\le x \le1 \\ \bruch{1}{2*x}+\bruch{1}{2}, & \mbox{für } x > 1 \\ x-2* \lfloor x \rfloor, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
. Ich frage mich, ob es auch andere gibt. Irgendwie komme ich auf keine sinnvolle Lösung, weil ich immer irgendeine Lücke im positiven Bereich habe.
Hat jemand vllt einen Hinweis?
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Di 23.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Hallo,
Was ist den genau deine Frage? Wie man zeigt, dass diese Abbildung bijektiv ist oder ob es auch andere bijektive Abbildungen gibt?
Mfg, Damasus
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> Hallo,
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> Was ist den genau deine Frage? Wie man zeigt, dass diese
> Abbildung bijektiv ist oder ob es auch andere bijektive
> Abbildungen gibt?
>
> Mfg, Damasus
Hallo,
da er schreibt: "ich frage mich, ob es auch andere gibt", und zusätzlich seiner Frage den Betreff "Alternativen" gibt, denke ich mal, daß er auf der Suche nach anderen ist...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 23.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Da meine Mitteilung beantwortet wurde, wäre z.B. eine Alternative:
[mm] $f:\IR\to\IR^{+},x\to e^x$
[/mm]
Es lässt ich leicht zeigen, dass diese bijektiv ist.
Mfg, Damasus
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> Da meine Mitteilung beantwortet wurde, wäre z.B. eine
> Alternative:
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> [mm]f:\IR\to\IR^{+},x\to e^x[/mm]
> Es lässt ich leicht zeigen, dass
> diese bijektiv ist.
>
> Mfg, Damasus
Hallo,
wenn ich mir Alexanders Funktion so betrachte, dann komme ich zu dem Entschluß, daß bei ihm mit [mm] \IR^{+} [/mm] die Menge gemeint ist, die Du wohl mit [mm] \IR^{+}_{0} [/mm] bezeichnen würdest, so daß Dein Beispiel nicht das sein wird, was er sucht.
Gruß v. Angela
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Ich meine in der Tat [mm] \IR_{0}^+
[/mm]
Und in diesem Fall ist die e-Funktion nicht bijektiv. Aber ich kann mir echt nicht vorstellen, dass es keine anderen gibt, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich meine in der Tat [mm]\IR_{0}^+[/mm]
> Und in diesem Fall ist die e-Funktion nicht bijektiv. Aber
> ich kann mir echt nicht vorstellen, dass es keine anderen
> gibt, oder?
Selbstverständlich gibt es weitere, man braucht nur ein positives Vielfaches deiner bereits gefundenen Funktion zu nehmen bzw. allgemeiner eine beliebige bijektive Abbildung [mm] $\IR^+_0\to\IR^+_0$ [/mm] damit zu verknüpfen 
Ein weiteres wäre aber auch
[mm]f(x)=\begin{cases} 0 &, \text{ falls } x=0 \\
\mathrm{e}^{x-1} & , \text{ falls } x\in\IN^{>0} \\
\mathrm{e}^x & , \text{ sonst }
\end{cases}[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Do 25.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Selbstverständlich gibt es weitere, man braucht nur ein
> positives Vielfaches deiner bereits gefundenen Funktion zu
> nehmen bzw. allgemeiner eine beliebige bijektive Abbildung
> [mm]\IR^+_0\to\IR^+_0[/mm] damit zu verknüpfen
mit der allgemeineren Methode bekommt man sogar alle bijektiven Abbildungen [mm] $\IR \to \IR^+_0$.
[/mm]
Und man sieht sofort, dass es unglaublich viele solche Abbildungen gibt. Es sind ueberabzaehlbar viele.
Sogar viel, viel mehr als es reelle Zahlen gibt.
LG Felix
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