Bijektion zwischen N, Z, N² < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mo 24.04.2006 | | Autor: | dobberph |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie, dass sich die Mengen [mm] \IN, \IZ, \IN² [/mm] bijektiv aufeinander abbilden lassen. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass sich die Menge aller Funktionen [mm] f:\IN [/mm] -> {0,1} überabzählbar ist. |
Hallo ihr,
ich bin gerade mit meiner ersten Vorlesung beschäftigt und es gab noch kein Tutorium dazu. Trotzdem will der Prof schon einen Aufgabenzettel bearbeitet haben.
Ich und die anderen wissen nicht, wie man das lösen soll, da wir nichtmal Mathe Leistungskurs hatten. Vielleicht kann uns jemand helfen, bis nächste Woche das Tutorium anfängt.
Ansatz:
Das einzige, was wir rausbekommen haben, ist dass die Zahlenräume wohl bijektiv zueinander sind, wenn sie über die gleiche Kradinalität verfügen, also beide abzählbar sind.
Aber wie man das jetzt beweist, wissen wir nicht...
Vielen Dank,
Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Aufgabe 1: Einfaches Abzählargument. Sortiere die Zahlen in [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IN^2$ [/mm] so an, dass Du sie nacheinander durchzählen kannst. Darüber bekommst Du dann eine Bijektion auf [mm] $\IN$.
[/mm]
Aufgabe 2: Ich denke das würde ich über ein Diagonalisierungsargument versuchen oder ähnlichen? Irgendwer eine brauchbare Idee?
--
Gruß
Matthias
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Hallo!
Für die zweite Frage solltest du dir klar machen, dass Menge dieser Funktionen der Potenzmenge von [mm] $\IN$ [/mm] entspricht. Diese beiden Mengen sind nämlich isomorph, weil jeder Funktion durch [mm] $\{n:f(n)=1\}$ [/mm] ein Element der Potenzmenge zugeordnet ist.
Tatsächlich ist jede eine Menge immer weniger mächtig als ihre Potenzmenge. Hattet ihr das schon in der Vorlesung? Dann wäre die Aufgabe nämlich gelöst...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mo 24.04.2006 | | Autor: | dobberph |
Vielen Dank für die Antworten,
in der Vorlesung kam leider wie gesagt noch gar nichts dran, aber da die Anworten von euch wohl richtig sind, werden sie das Argument wohl akzeptieren müssen.
Dank euch,
DerTobi
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