Bijektion, kanon. Projektion < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Di 06.07.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $R$ ein Ring (kommutativ mit 1), [mm] $\mathfrac{a}$ [/mm] ein Ideal in R und [mm] ${\pi}:R\to{R}/\mathfrac{a}$ [/mm] die kanonische Projektion. Zeigen Sie, dass [mm] $\pi$ [/mm] die folgende Bijektion induziert:
$ [mm] \Phi:\;\{\mathfrac{b} \subset {R}\;|\;\mathfrac{b}$ Ideal mit $\mathfrac{b} \supset \mathfrac{a}\} \to \{\mathfrac{c} \subset R/\mathfrac{a}\;|\; \mathfrac{c}$ Ideal$\}$ [/mm] , [mm] $\mathfrac{b} \mapsto \pi(\mathfrac{b})$ [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe oben bereitet mir Schwierigkeiten.
Ich denke ich habe etwas zur Wohldefiniertheit der Abbildung und zur Surjektivität, bin da aber sehr unsicher und würde euch drum bitten, dass ihr da nochmal drüber schaut. Die größten Probleme bereitet mir aber die Injektivität:
1. Wohldefiniertheit:
Wir setzen $A := [mm] \{\mathfrac{b} \subset {R}\;|\;\mathfrac{b}$ Ideal mit $\mathfrac{b} \supset \mathfrac{a}\}$
[/mm]
[mm] $\mathfrac{a}$ [/mm] Ideal [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt [mm] $a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{n} \in [/mm] {R}: [mm] \mathfrac{a} [/mm] = [mm] (a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{n})$
[/mm]
Sei [mm] $\mathfrac{b} \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] $ da $ [mm] \mathfrac{a}\subset\mathfrac{b}$ [/mm] gibt es [mm] $b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{m} \in {R}:\mathfrac{b}=(a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{n}, b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{m})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \pi(\mathfrac{b}) [/mm] = [mm] (\pi(a_{1}), [/mm] ... , [mm] \pi(a_{n}), \pi(b_{1}), [/mm] ... , [mm] \pi(b_{m}))
[/mm]
= [mm] (\pi(b_{1}), [/mm] ... , [mm] \pi(b_{m})) [/mm] = [mm] (\bar{b_{1}}, [/mm] ... [mm] \bar{b_{m}})$
[/mm]
mit [mm] $\bar{b_{1}}, [/mm] ... [mm] \bar{b_{m}} \in R/\mathfrac{a} \Rightarrow (\bar{b_{1}}, [/mm] ... [mm] \bar{b_{m}})$ [/mm] erzeugt Ideal in [mm] $R/\mathfrac{a}$, [/mm] also [mm] $\pi(\mathfrac{b}) \in \{\mathfrac{c} \subset R/\mathfrac{a}\;|\; \mathfrac{c}$ Ideal$\}$
[/mm]
2. Surjektivität:
Sei [mm] $\mathfrac{c} [/mm] = [mm] (c_{1}, [/mm] ... [mm] ,c_{m})$ [/mm] ein Ideal in [mm] $R/\mathfrac{a}$, [/mm] da [mm] $\pi$ [/mm] surjektiver Ringhomomorphismus (Ergebnis aus der Vorlesung), gibt es [mm] $b_{1}, [/mm] ... [mm] ,b_{m} \in \mathfrac{b}: c_{1}=\pi(b_{1}), [/mm] ... [mm] c_{m}=\pi(b_{m}) \Rightarrow \pi(b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{m})=\mathfrac{c}$ [/mm] aber [mm] $(b_{1}, [/mm] ... [mm] ,b_{m})\not\in{A} \Rightarrow \mathfrac{b}=(a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{n}, b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{m}) \in [/mm] A$ mit [mm] $\pi(\mathfrac{b})=\mathfrac{c} \Rightarrow$ [/mm] Surjektivität
3. Injektivität:
Seien [mm] $\mathfrac{c}, \mathfrac{d} \in [/mm] A$ mit [mm] $\pi(\mathfrac{c})=\pi(\mathfrac{d})$, $\mathfrac{c}=(c_{1}, [/mm] ..., [mm] c_{r}), \mathfrac{d}=(d_{1}, [/mm] ... [mm] ,d_{s})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (\pi(c_{1}), [/mm] ..., [mm] \pi(c_{r})) [/mm] = [mm] (\pi(d_{1}), [/mm] ... [mm] ,\pi(d_{s}))$
[/mm]
....
Hier komme ich leider nicht weiter, kann mir jemand einen Ansatz geben?
Vielen Dank im Voraus.
Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Di 06.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Sei [mm]R[/mm] ein Ring (kommutativ mit 1), [mm]\mathfrac{a}[/mm] ein Ideal
> in R und [mm]{\pi}:R\to{R}/\mathfrac{a}[/mm] die kanonische
> Projektion. Zeigen Sie, dass [mm]\pi[/mm] die folgende Bijektion
> induziert:
>
> [mm]\Phi:\;\{\mathfrac{b} \subset {R}\;|\;\mathfrac{b}[/mm] Ideal
> mit [mm]\mathfrac{b} \supset \mathfrac{a}\} \to \{\mathfrac{c} \subset R/\mathfrac{a}\;|\; \mathfrac{c}[/mm]
> Ideal[mm]\}[/mm] , [mm]\mathfrac{b} \mapsto \pi(\mathfrac{b})[/mm]
> Hallo,
>
> die Aufgabe oben bereitet mir Schwierigkeiten.
> Ich denke ich habe etwas zur Wohldefiniertheit der
> Abbildung und zur Surjektivität, bin da aber sehr unsicher
> und würde euch drum bitten, dass ihr da nochmal drüber
> schaut. Die größten Probleme bereitet mir aber die
> Injektivität:
>
> 1. Wohldefiniertheit:
> Wir setzen [mm]A := \{\mathfrac{b} \subset {R}\;|\;\mathfrac{b}[/mm]
> Ideal mit [mm]\mathfrac{b} \supset \mathfrac{a}\}[/mm]
> [mm]\mathfrac{a}[/mm]
> Ideal [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a_{1}, ... , a_{n} \in {R}: \mathfrac{a} = (a_{1}, ... , a_{n})[/mm]
Wieso gehst du davon aus, dass das Ideal endlich erzeugt ist? Der Ring ist doch nicht Noethersch?
> Sei [mm]\mathfrac{b} \in A \Rightarrow[/mm] da
> [mm]\mathfrac{a}\subset\mathfrac{b}[/mm] gibt es [mm]b_{1}, ... , b_{m} \in {R}:\mathfrac{b}=(a_{1}, ... , a_{n}, b_{1}, ... , b_{m})[/mm]
Erstmal: das gleiche Problem wie grade.
Dann: was willst du mit den Erzeugern von [mm] $\mathfrak{a}$? [/mm] Die brauchst du hier doch garnicht.
Rechne doch einfach nach, dass [mm] $\pi(\mathfrak{b})$ [/mm] ein Ideal in [mm] $R/\mathfrak{a}$ [/mm] ist. Ganz ohne Erzeuger.
> 2. Surjektivität:
> Sei [mm]\mathfrac{c} = (c_{1}, ... ,c_{m})[/mm] ein Ideal in
> [mm]R/\mathfrac{a}[/mm], da [mm]\pi[/mm] surjektiver Ringhomomorphismus
> (Ergebnis aus der Vorlesung), gibt es [mm]b_{1}, ... ,b_{m} \in \mathfrac{b}: c_{1}=\pi(b_{1}), ... c_{m}=\pi(b_{m}) \Rightarrow \pi(b_{1}, ... , b_{m})=\mathfrac{c}[/mm]
> aber [mm](b_{1}, ... ,b_{m})\not\in{A} \Rightarrow \mathfrac{b}=(a_{1}, ... , a_{n}, b_{1}, ... , b_{m}) \in A[/mm]
> mit [mm]\pi(\mathfrac{b})=\mathfrac{c} \Rightarrow[/mm]
> Surjektivität
Wenn die Ideale endlich erzeugt sind, mag das so sein, aber so...
Nimm doch [mm] $\mathfrak{b} [/mm] := [mm] \pi^{-1}(\mathfrak{c})$. [/mm] Zeige, dass [mm] $\pi(\mathfrak{b}) [/mm] = [mm] \mathfrak{c}$ [/mm] ist.
> 3. Injektivität:
Zeige, dass [mm] $\pi^{-1}(\pi(\mathfrak{c})) [/mm] = [mm] \mathfrak{c}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Di 06.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix,
danke erstmal.
> > 1. Wohldefiniertheit:
> > Wir setzen [mm]A := \{\mathfrac{b} \subset {R}\;|\;\mathfrac{b}[/mm]
> > Ideal mit [mm]\mathfrac{b} \supset \mathfrac{a}\}[/mm]
> >
> [mm]\mathfrac{a}[/mm]
> > Ideal [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a_{1}, ... , a_{n} \in {R}: \mathfrac{a} = (a_{1}, ... , a_{n})[/mm]
>
> Wieso gehst du davon aus, dass das Ideal endlich erzeugt
> ist? Der Ring ist doch nicht Noethersch?
>
> > Sei [mm]\mathfrac{b} \in A \Rightarrow[/mm] da
> > [mm]\mathfrac{a}\subset\mathfrac{b}[/mm] gibt es [mm]b_{1}, ... , b_{m} \in {R}:\mathfrac{b}=(a_{1}, ... , a_{n}, b_{1}, ... , b_{m})[/mm]
>
> Erstmal: das gleiche Problem wie grade.
>
> Dann: was willst du mit den Erzeugern von [mm]\mathfrak{a}[/mm]? Die
> brauchst du hier doch garnicht.
>
> Rechne doch einfach nach, dass [mm]\pi(\mathfrak{b})[/mm] ein Ideal
> in [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] ist. Ganz ohne Erzeuger.
>
Ok, zweiter Versuch ;):
Sei [mm] $b\in\mathfrak{b} \Rightarrow \pi(b) [/mm] = [mm] b+\mathfrak{a} [/mm] = [mm] \bar{b} \;\in R/\mathfrak{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pi(\mathfrak{b}) \subset R/\mathfrak{a}$
[/mm]
[mm] $\pi(\mathfrak{b})$ [/mm] ist Ideal, denn:
1. $0 [mm] \in \pi(\mathfrak{b})$, [/mm] da [mm] $\pi(0)=0+\mathfrak{a}=\bar{0}$
[/mm]
2. Seien [mm] $\bar{x}, \bar{y} \in \pi(\mathfrak{b}) \Rightarrow \bar{x}+\bar{y} [/mm] = [mm] \overline{x+y} \in R/\mathfrak{a}$
[/mm]
3. Sei $r [mm] \in [/mm] R, [mm] \bar{x} \in \pi(\mathfrak{b}) \Rightarrow r\bar{x} [/mm] = [mm] \overline{rx} \in R/\mathfrak{a}$
[/mm]
Stimmt es jetzt? Mich plagen wieder gewisse Zweifel.
> > 2. Surjektivität:
> > Sei [mm]\mathfrac{c} = (c_{1}, ... ,c_{m})[/mm] ein Ideal in
> > [mm]R/\mathfrac{a}[/mm], da [mm]\pi[/mm] surjektiver Ringhomomorphismus
> > (Ergebnis aus der Vorlesung), gibt es [mm]b_{1}, ... ,b_{m} \in \mathfrac{b}: c_{1}=\pi(b_{1}), ... c_{m}=\pi(b_{m}) \Rightarrow \pi(b_{1}, ... , b_{m})=\mathfrac{c}[/mm]
> > aber [mm](b_{1}, ... ,b_{m})\not\in{A} \Rightarrow \mathfrac{b}=(a_{1}, ... , a_{n}, b_{1}, ... , b_{m}) \in A[/mm]
> > mit [mm]\pi(\mathfrac{b})=\mathfrac{c} \Rightarrow[/mm]
> > Surjektivität
>
> Wenn die Ideale endlich erzeugt sind, mag das so sein, aber
> so...
>
> Nimm doch [mm]\mathfrak{b} := \pi^{-1}(\mathfrak{c})[/mm]. Zeige,
> dass [mm]\pi(\mathfrak{b}) = \mathfrak{c}[/mm] ist.
>
Wenn du schreibst [mm]\mathfrak{b} := \pi^{-1}(\mathfrak{c})[/mm], gehst du dann nicht schon davon aus, dass es sowas wie ein Urbild gibt. Setzt du damit nicht voraus, was du eigentlich zeigen willst?
Ich versuche mich weiter daran, wäre schön wenn du hier nochmal einen Hinweis geben könntest.
> > 3. Injektivität:
>
> Zeige, dass [mm]\pi^{-1}(\pi(\mathfrak{c})) = \mathfrak{c}[/mm]
> ist.
>
> LG Felix
>
Nochmal Danke für deine Antwort.
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Di 06.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel,
> Ok, zweiter Versuch ;):
>
> Sei [mm]$b\in\mathfrak{b} \Rightarrow \pi(b)[/mm] = [mm]b+\mathfrak{a}[/mm] =
> [mm]\bar{b} \;\in R/\mathfrak{a}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pi(\mathfrak{b}) \subset R/\mathfrak{a}$[/mm]
>
> [mm]\pi(\mathfrak{b})[/mm] ist Ideal, denn:
> 1. [mm]0 \in \pi(\mathfrak{b})[/mm], da
> [mm]\pi(0)=0+\mathfrak{a}=\bar{0}[/mm]
> 2. Seien [mm]\bar{x}, \bar{y} \in \pi(\mathfrak{b}) \Rightarrow \bar{x}+\bar{y} = \overline{x+y} \in R/\mathfrak{a}[/mm]
>
> 3. Sei [mm]r \in R, \bar{x} \in \pi(\mathfrak{b}) \Rightarrow r\bar{x} = \overline{rx} \in R/\mathfrak{a}[/mm]
Nun, dass [mm] $\bar{x} [/mm] + [mm] \bar{y}$ [/mm] und [mm] $\bar{r} \var{x}$ [/mm] in [mm] $R/\mathfrak{a}$ [/mm] liegen ist klar. Du willst aber zeigen, dass sie in [mm] $\pi(\mathfrak{b})$ [/mm] liegen.
> > > 2. Surjektivität:
> > > Sei [mm]\mathfrac{c} = (c_{1}, ... ,c_{m})[/mm] ein Ideal in
> > > [mm]R/\mathfrac{a}[/mm], da [mm]\pi[/mm] surjektiver Ringhomomorphismus
> > > (Ergebnis aus der Vorlesung), gibt es [mm]b_{1}, ... ,b_{m} \in \mathfrac{b}: c_{1}=\pi(b_{1}), ... c_{m}=\pi(b_{m}) \Rightarrow \pi(b_{1}, ... , b_{m})=\mathfrac{c}[/mm]
> > > aber [mm](b_{1}, ... ,b_{m})\not\in{A} \Rightarrow \mathfrac{b}=(a_{1}, ... , a_{n}, b_{1}, ... , b_{m}) \in A[/mm]
> > > mit [mm]\pi(\mathfrac{b})=\mathfrac{c} \Rightarrow[/mm]
> > > Surjektivität
> >
> > Wenn die Ideale endlich erzeugt sind, mag das so sein, aber
> > so...
> >
> > Nimm doch [mm]\mathfrak{b} := \pi^{-1}(\mathfrak{c})[/mm]. Zeige,
> > dass [mm]\pi(\mathfrak{b}) = \mathfrak{c}[/mm] ist.
> >
>
> Wenn du schreibst [mm]\mathfrak{b} := \pi^{-1}(\mathfrak{c})[/mm],
> gehst du dann nicht schon davon aus, dass es sowas wie ein
> Urbild gibt. Setzt du damit nicht voraus, was du eigentlich
> zeigen willst?
[mm] $\pi$ [/mm] ist die kanonische Projektion. Und Urbilder kann man immer bilden, es ist doch [mm] $\pi^{-1}(X) [/mm] = [mm] \{ r \in R \mid \pi(r) \in X \}$.
[/mm]
> Ich versuche mich weiter daran, wäre schön wenn du hier
> nochmal einen Hinweis geben könntest.
Nun, rechne es nach. Du hast zwei Inklusionen: [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$. [/mm] Fang etwa mit $b [mm] \in \mathfrak{b}$ [/mm] an. Was musst du zeigen, damit $b [mm] \in \pi^{-1}(\pi(\mathfrak{b}))$ [/mm] ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:08 Di 06.07.2010 | | Autor: | Lippel |
> Moin Felix,
>
nächster Versuch für Wohldefiniertheit, nachdem ich nochmal in mein Skript geschaut habe:
Wie bereits erwähnt weiß ich aus der Vorlesung, dass [mm] $\pi: [/mm] R [mm] \to R/\mathfrak{a}$ [/mm] ein surjektiver Ringhomomorphismus ist. Wir haben darüber hinaus gezeigt, dass allgemein für $R, S$ Ringe, [mm] $\phi:R\to{S}$ [/mm] Ringhomomorphismus gilt: [mm] $\mathfrak{a} {\subset} [/mm] R, [mm] \phi$ [/mm] surjektiv [mm] $\Rightarrow \phi(\mathfrak{a}) \subset [/mm] {S}$ Ideal.
Damit weiß ich, dass [mm] $\pi$ [/mm] Ideale in [mm] $\mathfrak{b}\subset{R}, \mathfrak{b} \supset \mathfrak{a}$, [/mm] auf Ideale in [mm] $R/\mathfrak{a}$ [/mm] abbildet. Damit habe ich Wohldefiniertheit?
Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:08 Di 06.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel
> nächster Versuch für Wohldefiniertheit, nachdem ich
> nochmal in mein Skript geschaut habe:
>
> Wie bereits erwähnt weiß ich aus der Vorlesung, dass [mm]\pi: R \to R/\mathfrak{a}[/mm]
> ein surjektiver Ringhomomorphismus ist. Wir haben darüber
> hinaus gezeigt, dass allgemein für [mm]R, S[/mm] Ringe,
> [mm]\phi:R\to{S}[/mm] Ringhomomorphismus gilt: [mm]\mathfrak{a} {\subset} R, \phi[/mm]
> surjektiv [mm]\Rightarrow \phi(\mathfrak{a}) \subset {S}[/mm]
> Ideal.
> Damit weiß ich, dass [mm]\pi[/mm] Ideale in
> [mm]\mathfrak{b}\subset{R}, \mathfrak{b} \supset \mathfrak{a}[/mm],
> auf Ideale in [mm]R/\mathfrak{a}[/mm] abbildet. Damit habe ich
> Wohldefiniertheit?
Ja, hast du.
LG Felix
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