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| Aufgabe | | Sei A eine n-elementige Menge und [mm] f_1 [/mm] : {0,1,...,n-1} -> A die entsprechende Bijektion, B eine abzählbar unendliche Menge und [mm] f_2 [/mm] : [mm] \IN [/mm] -> B die zugehörigen Bijektion. Geben Sie eine Bijektion g: [mm] \IN [/mm] -> A x B an und beweisen Sie , dass dies eine bijektive Abbildung ist. |
Hallo,
als Ansatz hatte ich mir gedacht, das Kreuzprodukt von A und B auszurechnen und dann die Surjektivität + die Injektivität zu beweisen.
Ich habe ja A , das eine n-elementige Menge ist , also z.B. A = {0,1,2,...,n-1,n} und dann [mm] f_1 [/mm] {0,1,2,...,n-1,n} , jeder Punkt wird nur einmal getroffen , und es gilt f(a) = A ( wobei a [mm] \in f_1 [/mm] ) , also die Surjektivität)
Wobei mir grade einfällt , dass das Kreuzprodukt von A x B nicht eindeutig zu bestimmen ist ( weil n -elementige Mengen )
Könnt ihr mir bei dem Ansatz etwas behilflich sein ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Sei A eine n-elementige Menge und [mm]f_1[/mm] : {0,1,...,n-1} -> A
> die entsprechende Bijektion, B eine abzählbar unendliche
> Menge und [mm]f_2[/mm] : [mm]\IN[/mm] -> B die zugehörigen Bijektion. Geben
> Sie eine Bijektion g: [mm]\IN[/mm] -> A x B an und beweisen Sie ,
> dass dies eine bijektive Abbildung ist.
Das ist eine lustige Aufgabenstellung. Eine Bijektion finden und dann beweisen, dass es eine ist. Sicher, dass da nicht Abbildung steht?
> Hallo,
>
> als Ansatz hatte ich mir gedacht, das Kreuzprodukt von A
> und B auszurechnen und dann die Surjektivität + die
> Injektivität zu beweisen.
Wegen deiner Anmerkungen weiter unten: was genau verstehst du unter Kreuzprodukt? Das hört sich nämlich verdächtig nach einem fatalen Missverständnis hinsichtlich des Symbols 'x' an. Das hat unterschiedliche Bedeutungen, hier spricht man vom <i>kartesischen Produkt<i> oder kurz vom Produkt der Mengen A und B. Mit dem Kreuzprodukt der Vektorrechnung hat das nichts, aber auch gar nichts zu tun.
> Ich habe ja A , das eine n-elementige Menge ist , also z.B.
> A = {0,1,2,...,n-1,n} und dann [mm]f_1[/mm] {0,1,2,...,n-1,n} ,
> jeder Punkt wird nur einmal getroffen , und es gilt f(a) =
> A ( wobei a [mm]\in f_1[/mm] ) , also die Surjektivität)
>
> Wobei mir grade einfällt , dass das Kreuzprodukt von A x B
> nicht eindeutig zu bestimmen ist ( weil n -elementige
> Mengen )
>
> Könnt ihr mir bei dem Ansatz etwas behilflich sein ?
Erstes Cantorsches Diagonalverfahren.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Di 26.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Danke für die Antwort.
Zu deinen Fragen: Ja , also das war die komplette Aufgabenstellung..
Zum Kreuzprodukt , ich meinte damit das kartesische Produkt , aber ich nenne es immer Kreuzprodukt , hat sich bei mir seit der Vektorrechnung so verfestigt , also gemeint ist natürlich das kartesische Produkt.
Ich gucke mir das Diagonalverfahren mal an, danke dafür.
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Hallo nochmal,
ich gucke mir grade ein Video über das 1. und 2. Cantorsche Diagonalverfahren an , aber ich verstehe nicht den Bezug zur Aufgabe. Die Person im Video benutzt das als Beweis dafür , dass es genauso viele rationale Zahlen gibt wie natürliche.
In meiner Aufgabe allerdings habe ich doch nur Abbildungen über/auf [mm] \IN..
[/mm]
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Hallo pc_doctor,
wie man das jetzt für deine Zwecke formal am besten aufschreibt, darüber habe ich mir keine Gedanken gemacht, das ist eigentlich im Wesentlichen auch deine Sache.
Aber einen Tipp habe ich dir schon: genau so, wie man beim Beweis von [mm] |\IQ|=|\IN| [/mm] mit dem Diagonalverfahren dafür sorgt, dass jedes Element aus [mm] \IQ [/mm] einen (nummerierten!) Platz in der Aufzählung erhält, so musst du doch nur zeigen, dass man alle Elemente aus AxB so ordnen kann, dass ihnen in dieser Reihenfolge eine eindeutige Platzunummer zukommt. Und dafür eignen sich die Funkzionen [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] doch wunderbar, denn von ihnen weiß man schon, dass sie bijektiv sind.
Gruß, Diophant
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