Beziehung Bild - Urbild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Mi 26.10.2005 | | Autor: | AgentLie |
Hallo erstmal!
Ich bin hier der Neue (Ersti) und schon nach den ersten 1 1/2 Wochen ziemlich am Verzweifeln. Der Ana Übungszettel war relativ einfach. Aber bei LA werde ich nichtmal mit der ersten Aufgabe fertig, die da lautet:
Seien X,Y zwei Mengen und f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung.
(a) Sei A [mm] \subset [/mm] X und B [mm] \subset [/mm] Y. Zeigen Sie, dass A [mm] \subset f^{-1}(f(A)) [/mm] und [mm] f(f^{-1}(B)) \subset [/mm] B.
(b) Welche Eigenschaften muss man für f fordern, damit sogar A= [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] für alle Teilmengen A [mm] \subset [/mm] X gilt?
____________________
Zur (a): Zu beweisen ist:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \varepsilon [/mm] A: a [mm] \varepsilon f^{-1}(f(A))
[/mm]
Meine Idee war es einen Beweis durch Widerspruch zu führen. Eigentlich ist mir der Sachverhalt ganz klar. Ich weiß nur nicht, wie ich ihn formulieren (und beweisen) soll. Die Negation wäre dann:
[mm] \exists [/mm] a [mm] \varepsilon [/mm] A: a nicht [mm] \varepsilon f^{-1}(f(A)) [/mm]
Zur (b): Die ist dann ganz simpel (denke ich). f muss bijektiv sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PS: Wie schon im Betreff geschrieben hätte ich gerne einen kleinen Tipp wie ich die Aufgabe jetzt angehen könnte. Bitte keine Lösungen Posten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 26.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meine Idee war es einen Beweis durch Widerspruch zu führen.
> Eigentlich ist mir der Sachverhalt ganz klar. Ich weiß nur
> nicht, wie ich ihn formulieren (und beweisen) soll. Die
> Negation wäre dann:
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\varepsilon[/mm] A: a nicht [mm]\varepsilon f^{-1}(f(A))[/mm]
Lieber die ganze Zeiel mit dem Formeleditor - und nicht das Epsilon für "ist Element" verwenden. Imo ist hier so ein Widerspruchsbeweis nicht so toll - mach das doch direkt, und dazu schaue dir die Definition von [m]f^{-1}[/m] nochmal genau an, zB. Also a la: a ist in A, dann ist ... in f(A), das bedeutet aber dass dann a in ...
> Zur (b): Die ist dann ganz simpel (denke ich). f muss
> bijektiv sein.
Simpel ja, deine Antwort ist trotzdem falsch. Überleg dir mal welche eigenschaft man denn nicht braucht (also Surjektiv, injektiv)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 27.10.2005 | | Autor: | AgentLie |
So, ich hab mich mal vom Beutelspacher inspirieren lassen. Die Lösung ist zwar bestimmt falsch. Aber vielleicht hilft es mir ein bischen zu lesen, wo ich de Beweis präzisieren muss, als immer im Blinden zu stochern.
a [mm] \in [/mm] A: f(a) [mm] \in [/mm] B
f(a):=b
Zu beweisen: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A: a \ [mm] f^{-1}(b) [/mm] bzw. f(A) [mm] \subset [/mm] B
d.h. jedes a [mm] \in [/mm] A wird durch die Funktionsvorschrift: f(a):={b [mm] \in [/mm] B | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A} nach b abgebildet.
Wir müssen nun beweisen [mm] \not\exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: a [mm] \not\in f^{-1}(b) [/mm] .
Nach definition gibt es für jedes Elelemt {b} einen Urpunkt. Auf die Teilmenge b [mm] \in [/mm] Y bezogen ist die Funktion also sogar surjektiv. Die Funktionsvorschrift von [mm] f^{-1}(b) [/mm] := {a [mm] \in [/mm] A | f(a) [mm] \in [/mm] B} wird also erfüllt. Demnach wird jedes b [mm] \in [/mm] B nach a [mm] \in [/mm] A und gegebenenfalls nach x [mm] \in [/mm] X abgebildet.
Zu (2): Ist durch die zwangsläufige Einschränkung des Definitionsbereichs nicht sowieso schon die ganze Abbildung auf jeden Fall surjektiv? Erforderlich ist imo zwar nur die Injektivität, aber die Surjektivität ist sowieso da. Und jetzt guck ich den [mm] 20^{[u]15[/u]} [/mm] Film, den ich schon vor einer Stunde anfangen wollte. Ich freu mich auf eine Antwort. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 28.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
Lobenswert ist, dass du deine Versuche hier postest - mach es bitte weiterhin so - nur so kann man dir wirklich helfen dir selbst zu helfen.
> a [mm]\in[/mm] A: f(a) [mm]\in[/mm] B
> f(a):=b
Hm - was soll das ? Es fehlen Worte wie "sei" oder "angenommen" oder sonst was - ist dies eine Behauptung, eine Vorraussetzung oder wie ?
Insbesondere steht doch nirgends warum f(a) in B sein sollte...
der Anfang fuer den ersten Teil von a) waere :
sei [mm] $a\in [/mm] A$ beliebig, dann ist $y:=f(a) [mm] \in [/mm] Y $
ach, ich denke ich schreibe exemplarisch auch einmal den Rest - davon lernt man am Anfang einfach schneller:
(Warnung: Jetzt kommt ein Loesung)
also : nochmal :
sei [mm] $a\in [/mm] A$ beliebig, dann ist $y:=f(a) [mm] \in [/mm] Y $
Und weil das Urbild [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] definiert ist als die Menge alle x aus X, fuer die gilt f(x)=y , ist a auch im Urbild von y, also [mm] $a\in f^{-1}(f(a))$
[/mm]
(Hinweis : a ist nur im Urbild und nicht gleich dem Urbild, denn es koennen ja noch andere x aus X auf y abbilden - also Injektivitaet reicht wirklich fuer Gleicheit aus.)
weil man a aus A beliebig gewaehlt hatte gilt dies fuer ganz A..
fuer den zweiten Teil von a) setzt du aehnlich an : sei b aus B beliebig.
wie ist dann [mm] $f^{-1}(b)$ [/mm] definiert - und wie dann das Bild davon ?
versuchst du es mal?
noch ein kleiner Hinweis : es reicht immer nur eine Frage offen zu haben in einem Thread (ausser es geht um verschiedene Dinge), denn es soll nur die Aufmerksamkeit auf sich ziehen.
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Fr 28.10.2005 | | Autor: | AgentLie |
Ich hab mir jetzt einfach mal die Lösung durchgelesen. So, oder so ähnlich sollte mein Beweis eigentlich auch ablaufen, wenn auch ich zugeben muss, dass ich alles ziemlich wirr hingeschrieben habe.
> a $ [mm] \in [/mm] $ A: f(a) $ [mm] \in [/mm] $ B
> f(a):=b
Haben wir eigentlich schon im Vorfeld angenommen. Aber du hast natürlich recht, dass ich das noch hätte genauer als Vorraussetzung kennzeichnen müssen.
> Insbesondere steht doch nirgends warum f(a) in B sein sollte...
Kann man das in dem Zusammenhang dann nicht als gegeben hinnehmen? Wenn a [mm] \in [/mm] A, dann ist doch auch f(a) [mm] \subset [/mm] B, oder kann man das nicht so einfach sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Ich hab mir jetzt einfach mal die Lösung durchgelesen. So,
> oder so ähnlich sollte mein Beweis eigentlich auch
> ablaufen, wenn auch ich zugeben muss, dass ich alles
> ziemlich wirr hingeschrieben habe.
>
> > a [mm]\in[/mm] A: f(a) [mm]\in[/mm] B
> > f(a):=b
>
> Haben wir eigentlich schon im Vorfeld angenommen.
Nein.
> Aber du
> hast natürlich recht, dass ich das noch hätte genauer als
> Vorraussetzung kennzeichnen müssen.
Es war keine Voraussetzung.
> > Insbesondere steht doch nirgends warum f(a) in B sein
> sollte...
>
> Kann man das in dem Zusammenhang dann nicht als gegeben
> hinnehmen? Wenn a [mm]\in[/mm] A, dann ist doch auch f(a) [mm]\subset[/mm] B,
Nein. Das steht nirgendwo. Es steht dort nur, dass $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung ist und dass man $a [mm] \in [/mm] X$ betrachtet. Nirgendwo steht etwas davon, dass $f(a) [mm] \in [/mm] B$ sein soll. Es ist zwar von einem $B [mm] \subset [/mm] Y$ die Rede, aber das wird mit $a [mm] \in [/mm] X$ in keinerlei Zusammenhang gebracht. Die Voraussetzung $B [mm] \subset [/mm] Y$ benötigt man einfach nur für den zweiten Aufgabenteil.
Das Wichtigste zu Beginn des Studiums ist es, dass man es schafft die Aufgabenstellungen sehr sorgfältig zu lesen, genau zu schauen, was gegeben und was gefragt ist. Ich weiß, dass das vielen am Anfang Probleme bereitet...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Fr 28.10.2005 | | Autor: | AgentLie |
Aber selbst wenn das nicht so explizit in der Aufgabenstellung definiert worden ist, kann ich dann nicht selber definieren, dass alle a [mm] \in [/mm] A in die Menge f(a):=b abgebildet werden? Ich bin bisher eigentlich immer davon ausgegangen, dass die Menge B das Bild von A sein soll, auch weil einige Tutoren das in der Form gesagt haben, aber ist es nicht eigentlich letztendlich egal wie ich mir mein f(a) definieren? Die Definition sollte ja schließlich nur der Vereinfachung gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das kannst du nicht. Du kannst zwar $f(a)=:b$ definieren, aber dann nicht verlangen, dass $b [mm] \in [/mm] B$ gilt (nur $b [mm] \in [/mm] Y$). Schließlich war $B [mm] \subset [/mm] Y$ vorgegeben, und wer sagt dir, dass $f(a)$ in diesem $B$ liegt? Nirgendwo steht, dass $B$ das Bild von $f$ sein soll.
Man muss sich genau an das halten, was vorgegeben ist. Dein Beweisansatz war also bereits falsch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Fr 28.10.2005 | | Autor: | AgentLie |
Ich bin nur wie gesagt eben von dieser anderen Vorraussetzung ausgegangen. Na ja, dann versuche ich meinen Ansatz nochmal in der Form umzuschreiben und ein bischen logischer zu formulieren:
Die Funktionsvorschrift: f(x):={y [mm] \in [/mm] Y | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y} besagt, dass jedem [mm] x\inX [/mm] beliebig ein y-Wert zugeordnet wird, der in der Menge Y liegt. f(x) definieren wir also als :=y.
Das Urbild ist definiert als die Menge aller [mm] x\inX, [/mm] für die gilt f(x)=y. Da diese Eigenschaft nach der ersten Funktionsvorschrift definitiv auch auf unser beliebiges x zutrifft ist ist x im Urbild von f(x):=y enthalten. Enthalten deshalb, weil es auch weitere Elemente xn geben kann, die eine Urbild von f(x) sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Ich bin nur wie gesagt eben von dieser anderen
> Vorraussetzung ausgegangen.
Das darfst du aber, wie gesagt, nicht.
> Na ja, dann versuche ich meinen
> Ansatz nochmal in der Form umzuschreiben und ein bischen
> logischer zu formulieren:
>
>
> Die Funktionsvorschrift: f(x):={y [mm]\in[/mm] Y | [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X mit f(x)=y}
Das macht keinen Sinn. $f(x)$ ist ein Element und keine Menge. Wenn, dann müsstest du $f(\{x\})$ schreiben. (Erst in späteren Semestern darf man so schludrig sein und die Mengenklammern weglassen...  )
> definieren
> wir also als :=y.
Kürzer: Es sei $y:=f(x) \in Y$. Das vorher macht alles wenig Sinn.
> Das Urbild ist definiert als die Menge aller [mm]x\inX,[/mm] für die
> gilt f(x)=y.
Wenn man es schon in Worten schreibt, dann sollte man das präzise machen. Etwa so: Das Urbild von $y$ unter $f$ ist definiert als die Menge aller $x [mm] \in [/mm] X$, für die gilt: $f(x)=y$.
> Da diese Eigenschaft nach der ersten
> Funktionsvorschrift definitiv auch auf unser beliebiges x
> zutrifft ist ist x im Urbild von f(x):=y enthalten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Enthalten deshalb, weil es auch weitere Elemente xn geben
> kann, die eine Urbild von f(x) sind.
Was du meinst, ist folgendes:
Es gilt: $x [mm] \in f^{-1}(\{f(x)\})$, [/mm] also: [mm] $\{x\} \subset f^{-1}(\{f(x)\})$, [/mm] aber es gilt nicht notwendigerweise [mm] $\{x\} [/mm] = [mm] f^{-1}( \{f(x)\})$, [/mm] da es auch weitere Elemente $x' [mm] \in [/mm] X$ geben kann, die im Urbild von $f(x)$ liegen.
Jetzt hast du dir alles plausibel gemacht. Daraus musst du jetzt noch einen mathematischen Beweis stricken. Denn du sollst die Beziehung ja für eine beliebige Teilmenge $A [mm] \subset [/mm] X$ zeigen, und nicht für einelementige Mengen [mm] $\{x\}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Fr 28.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi ihr beiden,
> Jetzt hast du dir alles plausibel gemacht. Daraus musst du
> jetzt noch einen mathematischen Beweis stricken. Denn du
> sollst die Beziehung ja für eine beliebige Teilmenge [mm]A \subset X[/mm]
> zeigen, und nicht für einelementige Mengen [mm]\{x\}[/mm].
@Stefan
ich denke, er versucht hier ein x aus A beliebig zu waehlen, deshalb nimmt er einelementige Mengen.
@Agent : du solltest dann aber dies auch so irgendwo sagen.
noch was : wir freuen uns auch ueber Begruessungen wie "Hallo" oder so - dies ist ja nur ein Forum, kein Chat
(ich habe zum Beispiel zwei stunden nichts gelesen und lese nur von allen anderen Begruessungen)
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Zusammen,
so wie hier teilweise die Fragen - Antworten - Mitteilungen aufeinanderfolgen, ist das schon fast einem Chat ähnlich;
aber das "nur" würde ich auch streichen - vielleicht auch nicht - eventuell ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Fr 28.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich meinte dieses "nur" natuerlich nicht abwertend !
Ich meinte nur in Hinsicht auf schnellere Kommunikationsformen wie Chat oder Real-Life hat ein Forum den kleinen Nachteil langsamer zu sein.
Dies wird hier natuerlich wieder durch Qualitaet und Freundlichkeit ausgeglichen - umso mehr erforderlich sich gegenseitig zu gruessen und auch mal Danke oder so zu sagen...
ihr wisst doch, wie ich's meine 
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Fr 28.10.2005 | | Autor: | AgentLie |
Danke, sage ich natürlich gerne bei so viel Hilfsbereitschaft. Aber wäre der Beweis denn nicht soweit richtig, wenn ich noch ein x [mm] \in [/mm] A davorschreibe, oder ist das überhaupt ein richtiger Beweis. Impliziere ich durch das "x [mm] \in [/mm] A beliebig" nicht schon eine gewisse Allgemeinheit für die Aussagen, die folgen.
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