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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr!
Endlich mache ich mich mal wieder daran, die Vorlesungsmitschriften genauer anzugucken. 
Und da habe ich gleich mal zwei grundlegende Fragen:
1.) Was genau bedeutet [mm] L^1? [/mm] Ich stelle mir immer einfach nur vor, dass Funktionen, die in [mm] L^1 [/mm] liegen, lebesuge integrierbar sind. Ist das richtig so?
Jedenfalls steht im Königsberger: [mm] L^1(\IR^n): [/mm] Banachraum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf [mm] \IR^n
[/mm]
Dann dazu direkt noch ne kleine Frage: Da drunter steht noch: [mm] \cal{L} [/mm] ^1(A) (warum schreibt der das nicht richtig...? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") : Vektorraum der über A Lebesgue-integrierbaren [mm] \IC [/mm] -wertigen Funktionen
Wo liegt da jetzt der Unterschied? Also einmal sind wir ja im zweiten Fall in [mm] \IC [/mm] und nicht nur in [mm] \IR^n, [/mm] aber eigentlich ist das doch fast das Gleiche, oder? Und zweitens haben wir jetzt nur (?) einen Vektorraum um im ersten Fall einen Banachraum. Aber sonst ist das das Gleiche?
2.) Was bedeutet denn dann [mm] L^2??? [/mm] Im Königsberger steht: [mm] L^2(U): [/mm] Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf [mm] \IR^n. [/mm] Aber was bedeutet das? Ich kann mich jedenfalls nicht daran erinnern, dass wir das in der Vorlesung mal definiert hätten, aber vielleicht habe ich das auch nur übersehen... ? Jedenfalls würde ich mir darunter vorstellen, dass die Funktion zweimal integrierbar ist?
Ich nehme an, [mm] \cal{L}^2(A) [/mm] (das sollte da oben eine 2 sein...) ergibt sich dann aus diesen beiden Antworten... 
Ach so, was ich noch dazu sagen wollte: Wir wollten die Fouriertransformierte auf [mm] L^2 [/mm] erweitern.
Viele Grüße
Bastiane
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 So 16.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Hallo ihr!
> Endlich mache ich mich mal wieder daran, die
> Vorlesungsmitschriften genauer anzugucken.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und da habe ich gleich mal zwei grundlegende Fragen:
>
> 1.) Was genau bedeutet [mm]L^1?[/mm] Ich stelle mir immer einfach
> nur vor, dass Funktionen, die in [mm]L^1[/mm] liegen, lebesuge
> integrierbar sind. Ist das richtig so?
Ja, das sind die auf einem vorgegebenen [mm] $\IR^n$ [/mm] definierten, Borel-messbaren rell- oder komplexwertigen Funktionen (je nach Definition), die Lebesgue-integrierbar sind.
> Jedenfalls steht im Königsberger: [mm]L^1(\IR^n):[/mm] Banachraum
> der Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf [mm]\IR^n
[/mm]
Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum. Das bedeutet: Wir haben ja auch [mm] $L^1(\IR^n)$ [/mm] eine Norm, nämlich
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_1 [/mm] = [mm] \int |f(x)|\, [/mm] dx$.
Nun können wir bezüglich dieser Norm eine Konvergenz einführen:
[mm] $(f_n)_{n \in \IN} \to [/mm] f [mm] \quad [/mm] (\ [mm] \mbox{in} [/mm] \ [mm] L^1(\IR^n)) \quad \mbox{für} [/mm] \ n [mm] \to \infty \quad \Leftrightarrow \quad\lim\limits_{n \to \infty} \Vert f_n [/mm] - f [mm] \Vert_1 [/mm] = 0$.
(Formal müssten wir jetzt zu den Äquivalenklassen bezüglich der "fast überall gleich-Äquivalenzrelation" übergehen, aber das ignoriere ich hier jetzt aus didaktischen Gründen.)
Die Tatsache, dass [mm] $L^1(\IR^n)$ [/mm] ein Banachraum ist, bedeutet, dass jede Cauchy-Folge bezüglich dieser Konvergenz auch tatsächlich in [mm] $L^1(\IR^n)$ [/mm] gegen eine Funktion $f [mm] \in L^1(\IR^n)$ [/mm] konvergiert.
> Dann dazu direkt noch ne kleine Frage: Da drunter steht
> noch: [mm]\cal{L}[/mm] ^1(A) (warum schreibt der das nicht
> richtig...? : Vektorraum der über A
> Lebesgue-integrierbaren [mm]\IC[/mm] -wertigen Funktionen
> Wo liegt da jetzt der Unterschied?
Die Funktionen sind jetzt nicht mehr (notwendigerweise) auf ganz [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert und integrierbar, sondern nur noch auf einer Teilmenge $A$. Ob reellwertig oder komplexwertig, ist hier nicht der springende Punkt, das ist Definitionssache.
> Also einmal sind wir ja
> im zweiten Fall in [mm]\IC[/mm] und nicht nur in [mm]\IR^n,[/mm] aber
> eigentlich ist das doch fast das Gleiche, oder?
Das verstehe ich nicht. der [mm] $\IR^n$ [/mm] ist der Raum, auf dem die Funktionen definiert sind, wohingegen [mm] $\IC$ [/mm] (oder aber [mm] $\IR$) [/mm] der Wertebereich der Funktionen ist. Hier hast du wohl etwas missverstanden...
> Und
> zweitens haben wir jetzt nur (?) einen Vektorraum um im
> ersten Fall einen Banachraum. Aber sonst ist das das
> Gleiche?
Ein Banachraum ist ein spezieller Vektorraum (siehe oben). Im Königsberger wurde nur die Vollständigkeit besonders hervorgehoben, und daher hat er den Ausdruck "Banachraum" verwendet. Im Skript wurde darauf verzichtet (zu recht im dritten Semester, aus meiner Sicht).
> 2.) Was bedeutet denn dann [mm]L^2???[/mm] Im Königsberger steht:
> [mm]L^2(U):[/mm] Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen
> auf [mm]\IR^n.[/mm] Aber was bedeutet das? Ich kann mich jedenfalls
> nicht daran erinnern, dass wir das in der Vorlesung mal
> definiert hätten, aber vielleicht habe ich das auch nur
> übersehen... ? Jedenfalls würde ich mir darunter
> vorstellen, dass die Funktion zweimal integrierbar ist?
Richtig. Und gleiches Spiel wie oben: Im Königsberger werden andere Eigenschaften mit hineingepackt. So ist [mm] $L^2(\IR^n)$ [/mm] wieder ein Banachraum, d.h. jede Cauchyfolge bezüglich der durch
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \left( \int f^2(x)\, dx \right)^{\frac{1}{2}}$ [/mm]
induzierten Konvergenz konvergiert. Im Gegensatz zu [mm] $L^1(\IR^n)$ [/mm] haben wir in [mm] $L^2(\IR^n)$ [/mm] aber noch mehr, und daher heißt das Ding nicht nur Banachraum, sondern sogar Hilbertraum: Wir haben zusäzlich ein Skalarprodukt, nämlich:
[mm] $\langle f,g\rangle [/mm] := [mm] \int [/mm] f(x) [mm] \overline{g(x)}\, [/mm] dx$,
das die Norm [mm] $\Vert \cdot \Vert_2$ [/mm] induziert, und zwar in dem folgenden Sinne:
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \langle [/mm] f,f [mm] \rangle^{\frac{1}{2}}$.
[/mm]
Ihr seid in der Vorlesung (wieder nach meiner Ansicht für das 3. Semester zu recht) auf diese Tatsache nicht eingegangen, so dass [mm] $L^2(\IR^n)$ [/mm] für euch nur ein Vektorraum, und nicht ein spezieller Vektorraum (ein Hilbertraum) ist.
Diese Überlegungen gehören eher in eine Funktionalanalysis-Vorlesung, oder aber man muss sie in Analysis III sorgsam und ausführlich einführen.
> Ich nehme an, [mm]\cal{L}^2(A)[/mm] (das sollte da oben eine 2
> sein...) ergibt sich dann aus diesen beiden Antworten...
>
Ich hoffe mal.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 So 16.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Vielen Dank für deine Antwort, ich glaube, das meiste ist jetzt klar. Nur noch ganz kurz:
> Nun können wir bezüglich dieser Norm eine Konvergenz
> einführen:
>
> [mm](f_n)_{n \in \IN} \to f \quad (\ \mbox{in} \ L^1(\IR^n)) \quad \mbox{für} \ n \to \infty \quad \Leftrightarrow \quad\lim\limits_{n \to \infty} \Vert f_n - f \Vert_1 = 0[/mm].
Das ist einfach so definiert, ja?
> > Also einmal sind wir ja
> > im zweiten Fall in [mm]\IC[/mm] und nicht nur in [mm]\IR^n,[/mm] aber
> > eigentlich ist das doch fast das Gleiche, oder?
>
> Das verstehe ich nicht. der [mm]\IR^n[/mm] ist der Raum, auf dem die
> Funktionen definiert sind, wohingegen [mm]\IC[/mm] (oder aber [mm]\IR[/mm])
> der Wertebereich der Funktionen ist. Hier hast du wohl
> etwas missverstanden...
Ja, ich glaube, das hat mich einfach verwirrt, dass das beides so direkt untereinander stand, aber einmal der Definitionsbereich und einmal der Wertebereich gemeint war. [mm] \IC-wertig [/mm] gibt also den Wertebereich an!?!
> > 2.) Was bedeutet denn dann [mm]L^2???[/mm] Im Königsberger steht:
[...]
> > übersehen... ? Jedenfalls würde ich mir darunter
> > vorstellen, dass die Funktion zweimal integrierbar ist?
>
> Richtig. Und gleiches Spiel wie oben: Im Königsberger
Aber hieße das dann nicht, dass jede Funktion aus [mm] L^2 [/mm] auch in [mm] L^1 [/mm] liegt?
Danke auch nochmal für ein die Definitionen hier drin, wenn man das nochmal alles auf einmal hat, behält man den Überblick etwas besser.
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > [mm](f_n)_{n \in \IN} \to f \quad (\ \mbox{in} \ L^1(\IR^n)) \quad \mbox{für} \ n \to \infty \quad \Leftrightarrow \quad\lim\limits_{n \to \infty} \Vert f_n - f \Vert_1 = 0[/mm].
>
> Das ist einfach so definiert, ja?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\IC-wertig[/mm] gibt also den Wertebereich an!?!
> > > übersehen... ? Jedenfalls würde ich mir darunter
> > > vorstellen, dass die Funktion zweimal integrierbar
> ist?
> >
> > Richtig. Und gleiches Spiel wie oben: Im Königsberger
>
> Aber hieße das dann nicht, dass jede Funktion aus [mm]L^2[/mm] auch
> in [mm]L^1[/mm] liegt?
Ich hatte mich bei deinem ersten Posting verlesen. Nein, das heißt nicht, dass die Funktion zweimal integrierbar ist, sondern dass sie quadratisch integrierbar ist!
Sprich:
$f [mm] \in L^2(\IR) \quad \Leftrightarrow \quad \int|f(x)|^2\, [/mm] dx < [mm] \infty$.
[/mm]
Im allgemeinen gelten keine so leichten Inklusionsbeziehungen. Bei endlichen Maßen [mm] $\mu$ [/mm] gilt aber in der Tat: [mm] $L^2(\mu) \subset L^1(\mu)$, [/mm] in den von euch betrachteten Fällen mit dem Lebesguemaß aber nicht.
Ich schreibe unten für alle an Funktionalanalysis Interessierten (das wirst du noch nicht verstehen) mal die exakten Beziehungen auf, denn diese sind sehr wichtig und tauchen immer wieder auf.
> Danke auch nochmal für ein die Definitionen hier drin, wenn
> man das nochmal alles auf einmal hat, behält man den
> Überblick etwas besser.
![[wiggle]](/images/smileys/wiggle.gif "[wiggle]")
Satz 1
Folgende Bedingungen a)-c) sind äquivalent:
a) Es gibt [mm] $0
b) [mm] $\inf\{\mu(A)\, : \, A \in {\cal A},\mu(A)>0\}>0$.
[/mm]
c) Für alle [mm] $0
Satz 2
Folgende Bedingungen a)-c) sind äquivalent:
a) Es gibt [mm] $0
b) [mm] $\sup\{\mu(A)\, : \, A \in {\cal A},\mu(A)< \infty\}<\infty$.
[/mm]
c) Für alle [mm] $0
Ich sage mal so: Jeder, der meint Ahnung von Analysis zu haben, sollte diese Beziehungen im Schlaf beherrschen. Die Grundlagen dafür werden aber erst im Hauptstudium gelegt (Funktionalanalysis, Maßtheorie).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Ihr beiden,
ich lese Eure Postings immer (na gut - allermeistens) mit großem Vergnügen, weil ich a) sehe, was ich noch kann und b) weiß, wo ich mal wieder auffrischen muss. (Das hätte auch 'ne private Nachricht werden können, aber dann hätte ich sie zweimal tippen müssen )
Alles Gute,
Peter
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![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
