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Hallo,
ich kann einen Schritt in einem Beweis zur Laplacetransformation in einem Buch nicht nachvollziehen. Deshalb frag ich mal.
Vorausgesetzt wird:
Property(I): If f(x) is periodic with period [mm] \omega, [/mm] that is, [mm] $f(x+\omega) [/mm] = f(x)$, then
L{f(x)} = [mm] \bruch{\int_{0}^{\omega}e^{-sx}f(x)\;dx}{1-e^{-\omega s}}
[/mm]
Dann die Aufgabe:
Prove that if [mm] f(x+\omega) [/mm] = -f(x), then
L{f(x)} = [mm] \bruch{\int_{0}^{\omega}e^{-sx}f(x)\;dx}{1+e^{-\omega s}}
[/mm]
Und der Beweis:
Since
[mm] f(x+2\omega)=f[(x+\omega)+\omega]=-f(x+\omega)=-[-f(x)]=f(x)
[/mm]
f(x) is periodic with period [mm] $2\omega$. [/mm] Then, using Property (I) with [mm] \omega [/mm] replaced by [mm] 2\omega, [/mm] we have
L{f(x)} = [mm] \bruch{\int_{0}^{2\omega}e^{-sx}f(x)\;dx}{1-e^{-2\omega s}}=\bruch{\int_{0}^{\omega}e^{-sx}f(x)\;dx+\int_{\omega}^{2\omega}e^{-sx}f(x)\;dx}{1-e^{-2\omega s}}
[/mm]
Substituting [mm] y=x-\omega [/mm] into the second integral, we find that
[mm] $\int_{\omega}^{2\omega}e^{-sx}f(x)\;dx=\int_{0}^{\omega}e^{-s(y+\omega)}f(y+\omega)\;dy=e^{-\omega}*\int_{0}^{\omega}e^{-sy}[-f(y)]\;dy$
[/mm]
[mm] $=-e^{-\omega}*\int_{0}^{\omega}e^{-sy}f(y)\;dy$
[/mm]
The last integral, upon changing the dummy variable of integration back to x, equals
[mm] $=-e^{-\omega}*\int_{0}^{\omega}e^{-sx}f(x)\;dx$
[/mm]
Diesen letzten Schritt verstehe ich nicht. Wenn man y resubstituiert, dann müsste man doch wieder:
[mm] $-\int_{\omega}^{2\omega}e^{-sx}f(x-\omega)\;dx$
[/mm]
bekommen (?).
Vielen Dank für eine Erklärung im Voraus.
LG, Martinius
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[mm]\int_{23}^{34} x^2~\mathrm{d}x = \int_{23}^{34} t^2~\mathrm{d}t = \int_{23}^{34} \sigma^2~\mathrm{d}\sigma = \int_{23}^{34} \aleph^2~\mathrm{d}\aleph[/mm]
Wobei der Buchstabe [mm]\aleph[/mm] dann doch etwas ungewöhnlich für eine Integrationsvariable ist. Cantor wird es mir nachsehen ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Di 02.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ja wie gesagt, das ist keine Resubstitution, das macht man nur bei unbestimmten Integralen... Ich frag mich nur:
> [...]
> Substituting [mm]y=x-\omega[/mm] into the second integral, we find
> that
>
> [mm]\int_{\omega}^{2\omega}e^{-sx}f(x)\;dx=\int_{0}^{\omega}e^{-s(y+\omega)}f(y+\omega)\;dy=e^{-\omega}*\int_{0}^{\omega}e^{-sy}[-f(y)]\;dy[/mm]
>
> [mm]=-e^{-\omega}*\int_{0}^{\omega}e^{-sy}f(y)\;dy[/mm]
Müsste es am Ende nicht [mm] $=-e^{-s\omega}\int_0^\omega e^{-sy}f(y)\ [/mm] dy$ heißen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 02.09.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten; ich hab's verstanden. Wahrscheinlich merkt man meinen Fragen an, dass ich nie Mathematik studiert habe.
LG, Martinius
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