Beweisführung und Bestimmung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Beweise:
[mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] + ... + + [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] + + [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Bestimme den Wert für n, für den gilt:
[mm] \vektor{n \\ } [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ 1} [/mm] + + [mm] \vektor{n+2 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{n+3 \\ 3} [/mm] = 43680 |
Beide Aufgaben waren noch mit drei anderen Teilaufgaben zusammengefasst zu einer Aufgabennummer (deshalb stelle ich sie beide zusammen ein).
Beim ersten fällt mir noch nichtmal ein Ansatz ein.
Zum zweiten: Soweit komme ich noch:
[mm] \vektor{n \\ } [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ 1} [/mm] + + [mm] \vektor{n+2 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{n+3 \\ 3} [/mm] = 43680
--> 1 + [mm] \bruch{(n+1)!}{1!(n+1-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+2)!}{2!(n+2-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+3)!}{3!(n+3-k)!} [/mm] =43680
Danach habe ich nur noch mehrmals wie wild versucht umzuformen, komme aber nie zu einem wirklichen Ergebnis. Bzw. schaffe es nie irgendwie alleine nur nach n umzuformen.
Danke im Vorraus. Ihr seid mir eine riesige Hilfe.
MfG.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Beim 1. könntest du es mit vollständiger Induktion versuchen. Ich habe dazu die Eigenschaft genommen, die du in deinem anderen Thread hergeleitet hast. Also [mm] \vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1}.
[/mm]
2.)
Du baust da plötzlich wieder k mit ein, obwohl du doch so schöne "richtige" Zahlen da zu stehen hast!
[mm] ...=1+\bruch{(n+1)!}{1!*n!}+\bruch{(n+2)!}{2!*n!}+\bruch{(n+3)!}{3!*n!}
[/mm]
Dann solltest du eine Gleichung 3. Grades rausbekommen, die du dann zu lösen hast.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Was genau ist denn eine vollständige Induktion und wie genau funktioniert die? (Wikipedia sagt eine Art der Beweisführung, nur den Artikel verstehe ich nicht ganz). Könntest du mir da eventuell noch etwas weiter helfen.
Zu zweitens: Schonmal danke, hat mir schonmal weitergeholfen. Nur jetzt stockt meine Rechnung an einer anderen Stelle:
1 + [mm] \bruch{(n+1)!}{1!(n+1-1)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+2)!}{2!(n+2-2)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+3)!}{3!(n+3-3)!}=43680
[/mm]
1 + [mm] \bruch{(n+1)!}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+2)!}{2n!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+3)!}{6n!}=43680
[/mm]
1 + [mm] \bruch{n!(n+1)}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{n!(n+1)(n+2)}{2n!} [/mm] + [mm] \bruch{n!(n+1)(n+2)(n+3)}{6n!}=43680
[/mm]
1 + [mm] \bruch{n+1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}=43680
[/mm]
und nun einfach alles lösen und zusammenfassen, dann komm ich auf:
[mm] (1/6)n^{3}+2(1/2)n^{2}+2(5/6)n+4=43680
[/mm]
Irgendwie kann das nicht stimmen. Und wie kann ich da jetzt rausfinden was n ist? Irgendwas mit Newton Verfahren klingelt da bei mir im Kopf, aber ich weiß gar nicht mehr wie das funktioniert und Wikipedia hilft mir mal wieder bei Matheproblemen mal gar nicht.
Danke im Vorraus.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
2.)
Hm, beim Zusammenfassen ist dir glaube ein Fehler passiert! Die Koeffizienten von n² und n stimmen nicht! Der Rest ist ok :)
Ja, du könntest das mit Newton machen.
Erstmal musst du deine Formel umstellen, sodass eine Seite =0 ist. Dann kannst du die andere Seite (mit den n) als Funktion betrachten, von der du die Nullstelle suchst.
Die Formel dafür ist ja: [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
Du fängst an, in dem du dir einen Startwert für [mm] x_n [/mm] aussuchst. Dieser sollte möglichst schon etwas näher an der Nullstelle liegen. Aber wenn nicht, ist auch nicht so schlimm, dann brauchst du vielleicht 1 oder 2 Iterationsschritte mehr.
Nehmen wir einfach mal [mm] x_1=30.
[/mm]
Jetzt musst du f(30) und f'(30) berechnen (also musst du deine Funktion vorher erst noch ableiten, was aber kein Problem sein sollte).
Wenn du das in die Iterationsformel so einsetzt alles, kriegst du ein [mm] x_2 [/mm] heraus.
Damit ziehst du die Prozedur wieder durch. [mm] f(x_2) [/mm] und [mm] f'(x_2) [/mm] berechnen, alles in die Formel einsetzen, und [mm] x_3 [/mm] rausbekommen.
Und irgendwann kommst du dann zu deiner Nullstelle. Unter Umständen kommt man mit dem Verfahren nicht zur Nullstelle, aber dazu muss man schon etwas Pech haben ;) ich denke mal, dass hier alles glatt laufen wird.
Zur Induktion:
 Induktion
Induktion2
Hilft dir das besser weiter?
Teufel
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Bei Nochmaligen nachrechnen habe ich folgende Formel erhalten:
[mm] \bruch{1}{6} n^{3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} n^{2} [/mm] + [mm] \bruch{13}{3} [/mm] n - 43676=0
Könnte das stimmen? Bzw. Stimmt das so?
Als abgeleitete Funktion hätte ich dann:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{2} n^{2} [/mm] + 3n + [mm] \bruch{13}{3}
[/mm]
Wenn ich da jetzt das Newton Verfahren dran anwende(per TI), kriege ich als Nullstelle ~5575,893617 raus, aber wenn ich das nun in die Funktion einsetze, kriege ich als y-Wert [mm] 2,9*10^{10} [/mm] raus, was ja bedeutet, dass es keine Nullstelle ist.
Das Newton Verfahren wende ich per TI wie folgt an:
in Y=:
[mm] \Y1=x-Y2/Y3
[/mm]
[mm] \Y2=f(x)
[/mm]
[mm] \Y3=f(x)
[/mm]
Dann:
1 STO --> x
Y1(x)STO -->x
((So hatten wir es mal in der 12. Klasse aufgeschrieben))
Wie gesagt kann das Ergebnis dann nicht stimmen.
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Hat sich geklärt! Danke an alle! Musste nur weiter am TI Enterdrücken. (völlig verplant)
Danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, gut :)
Und nur um die Frage zu beantworten: Ja, stimmt!
Teufel
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Hallo Mathelk13eA,
falls du schon vom binomischen Lehrsatz gehört hast,
lässt sich die (a) auch ohne Induktion schnell und elegant lösen:
Schreibe [mm] $2^n=(1+1)^n$ [/mm] und wende den bin. Lehrsatz auf [mm] $(1+1)^n$ [/mm] an ...
LG
schachuzipus
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