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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 04.12.2013 | | Autor: | creaper |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Sei (G,*) eine Gruppe und a, b [mm] \in [/mm] G. Dann gilt:
i) (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1
ii) (a^-1)^-1 = a |
Ich habe diesbezüglich keinen wirklich Ansatz. Mir ist schon klar, dass das stimmt, aber wie sollte ich das beweisen?
Meine einzige Idee wäre hier das Distributivgesetz, aber ich weiß einfach nicht, wie ich an die Beweisführung rangehen soll.
Kann mir jemand etwas Starthilfe geben?
Danke schon mal im voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo creaper,
die erste Aussage, die du zeigen sollst, stimmt nicht. Steht da vielleicht [mm] $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$? [/mm] Anfangen solltest du am Besten damit, dir anzusehen, wie das Inverse überhaupt definiert ist. Und dann ist es auch nur noch ein Schritt.
Und ein "Distributivgesetz" gibt es für Gruppen nicht. Es gibt nur das Assoziativgesetz.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 04.12.2013 | | Autor: | creaper |
Ja mein Fehler, das b kam zuerst aber die Verknüpfungssymbole stehen da so.
Ich werde trotzdem nicht ganz schlau.
Vorweg: a ist rechtsinvertierbar bedeutet, es gibt ein Element b, sodass ich schreiben kann a ° b = neutrales Element
b ist linksinvertierbar würde dann bedeuten es gibt ein Element a, sodass ich schreiben kann a ° b = neutrales Element.
Und wenn es für a ein Element b gibt, sodass gilt a ° b = b ° a = neutrales Element, ist a beidseitig invertierbar.
Ok soweit so gut.
Weiter heißt es:
1)Ist ein Produkt a ° b rechtsinvertierbar, so ist auch a rechtsinvertierbar;
2)Ist a ° b linksinvertierbar, so ist auch b linksinvertierbar.
3)Sind a und b beidseitig invertierbar, so auch a ° b, und es gilt:
(a ° b)^-1 = b^-1 ° a^-1
Das links/rechtsinverse Produkt für das Produkt a ° b, wäre doch ebenfalls einfach (a ° b)^-1
Also für 1) (a ° b) ° (a ° b)^-1 = e
Für 2 ) (a ° b)^-1 ° (a ° b) = e
Ab Satz 3 verstehe ich es nicht.
Denn wenn es doch beidseitig invertierbar ist, wieso ist dann a^-1 ° b^-1 = (a ° b)^-1 falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> Ja mein Fehler, das b kam zuerst aber die
> Verknüpfungssymbole stehen da so.
>
> Ich werde trotzdem nicht ganz schlau.
> Vorweg: a ist rechtsinvertierbar bedeutet, es gibt ein
> Element b, sodass ich schreiben kann a ° b = neutrales
> Element
> b ist linksinvertierbar würde dann bedeuten es gibt ein
> Element a, sodass ich schreiben kann a ° b = neutrales
> Element.
> Und wenn es für a ein Element b gibt, sodass gilt a ° b
> = b ° a = neutrales Element, ist a beidseitig
> invertierbar.
> Ok soweit so gut.
>
> Weiter heißt es:
> 1)Ist ein Produkt a ° b rechtsinvertierbar, so ist auch a
> rechtsinvertierbar;
> 2)Ist a ° b linksinvertierbar, so ist auch b
> linksinvertierbar.
> 3)Sind a und b beidseitig invertierbar, so auch a ° b, und
> es gilt:
> (a ° b)^-1 = b^-1 ° a^-1
>
> Das links/rechtsinverse Produkt für das Produkt a ° b,
> wäre doch ebenfalls einfach (a ° b)^-1
> Also für 1) (a ° b) ° (a ° b)^-1 = e
> Für 2 ) (a ° b)^-1 ° (a ° b) = e
>
> Ab Satz 3 verstehe ich es nicht.
> Denn wenn es doch beidseitig invertierbar ist, wieso ist
> dann a^-1 ° b^-1 = (a ° b)^-1 falsch?
Klar wird es, wenn du das beweisen willst.
Allgemeiner muss man sich fragen: Gilt in Gruppen i.A. das Kommutativgesetz?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Mi 04.12.2013 | | Autor: | creaper |
(b^−1 a^−1)(ab) =
b^−1(a^−1(ab)) =
b^−1((a^−1 a)b) = b^−1(eb) = b^−1 b = e.
Das ist ja der Beweis dafür. Wo ist der Widerspruch, wenn a^-1 und b^-1 die Plätze tauschen.?
Darf ich die Verknüpfungsreihenfolge nicht vertauschen, wie ich will bei einer Gruppe??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Ich stelle meine Frage erneut: Gilt in einer Gruppe im Allgemeinen das Kommutativgesetz?
Ich gebe die Antwort: Nein!
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Hallo,
das Thema war für mich zu Beginn wirklich schwer. Daher möchte ich dir mal noch so gewisse Dinge verraten, vllt. hilft es dir.
Wir betrachten die Verknüpfung zweier Elemente a und b aus der Gruppe G, also a*b, mit der Verknüpfung $*$.
Nun ist die Behauptung bei i). Das Inverse von $a*b$ ist [mm] b^{-1}*a^{-1}. [/mm] Man sagt das so, weil zunächst völlig unklar ist, was denn überhaupt [mm] (ab)^{-1} [/mm] bedeuten soll.
Wenn nun aber wirklich [mm] b^{-1}*a^{-1} [/mm] das Inverse von $ab$ ist, dann sollte doch gelten: [mm] (b^{-1}*a^{-1})*(ab)=e, [/mm] wobei e hier das neutrale Element bezeichnet.
Und wenn diese Relation stimmt, dann haben wir das behauptete gezeigt.
Die obige Relation bekommst du aber leicht selbst hin (Assoziativgesetz).
Bei ii) gebe ich dir den Hinweis: Nutze aus, dass es nur ein inverses Element gibt.
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