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| Aufgabe | Sind [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] kollinear , so sind auch [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] kollinear.
Beweisen Sie diese Aussage. |
Hallo , also kollinear heißt ja , dass zwei Vektoren parallel zueinander sind , und können dabei eine unterschiedliche Länge haben , aber die Richtung muss die gleiche sein.
Also ich habe so gerechnet :
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] = r*( [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] )
[mm] \bruch{\vec{a} + \vec{b}}{\vec{a} - \vec{b} } [/mm] = r
r in die "Ausgangsgleichung" einsetzen :
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \bruch{(\vec{a} + \vec{b}) * (\vec{a} - \vec{b})}{\vec{a} - \vec{b}}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}
[/mm]
Stimm dies ?
Danke schon im Voraus.
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Hallo pc_doctor,
nein, so stimmt das nicht.
> Sind [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] kollinear , so sind auch [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm]
> kollinear.
> Beweisen Sie diese Aussage.
>
> Hallo , also kollinear heißt ja , dass zwei Vektoren
> parallel zueinander sind , und können dabei eine
> unterschiedliche Länge haben , aber die Richtung muss die
> gleiche sein.
Im Prinzip ja, aber genau ist es nicht.
Wenn es [mm] s,t\in\IR [/mm] gibt, so dass [mm] s*\vec{a}+t*\vec{b}=\vec{0} [/mm] ist und nicht s=t=0 gilt, dann sind [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] kollinear.
> Also ich habe so gerechnet :
>
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] = r*( [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] )
Das ist ok.
> [mm]\bruch{\vec{a} + \vec{b}}{\vec{a} - \vec{b} }[/mm] = r
Das hier geht nicht. Man kann Vektoren addieren und subtrahieren, man kann auch eine Multiplikation dividieren (übrigens nicht nur eine), aber eine Division funktioniert nicht.
> r in die "Ausgangsgleichung" einsetzen :
>
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\bruch{(\vec{a} + \vec{b}) * (\vec{a} - \vec{b})}{\vec{a} - \vec{b}}[/mm]
Wenn das keine Vektoren wären, dann würde das klappen. Es wäre aber auch nur die Probe, ob Du richtig gerechnet hast.
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm]
>
> Stimm dies ?
Nein.
Lies noch mal, was ich oben zur Kollinearität geschrieben habe. Daraus folgt nämlich, dass es ein u oder ein v (oder beide) gibt, so dass
[mm] \vec{a}=u*\vec{b} [/mm] oder [mm] v*\vec{a}=\vec{b} [/mm] ist.
Damit kannst Du Aussage aus der Aufgabe leicht beweisen.
> Danke schon im Voraus.
Grüße
reverend
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Kann ehrlich gesagt hiermit nichts anfangen :
$ [mm] \vec{a}=u\cdot{}\vec{b} [/mm] $
Muss ja am Ende hier drauf kommen : $ [mm] s\cdot{}\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}=\vec{0} [/mm] $
Hab echt keinen Plan...
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Hallo noch einmal,
> Kann ehrlich gesagt hiermit nichts anfangen :
>
> [mm]\vec{a}=u\cdot{}\vec{b}[/mm]
Setze das mal in [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] ein.
Wenn [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] kollinear sind, dann gilt auch [mm] \vec{x}=k\vec{y}
[/mm]
...
Führe den Gedanken weiter...
>
> Muss ja am Ende hier drauf kommen :
> [mm]s\cdot{}\vec{a}+t\cdot{}\vec{b}=\vec{0}[/mm]
>
> Hab echt keinen Plan...
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Hallo doctor,
Reverend hat alles wichtige gesagt, nur noch ein paar Anmerkungen.
Dein "Beweis" ist schon recht witzig. Ich bin kein Pro und Freund von Beweisen. Das ist so das Übel für einen Physiker. Daher kann ich mir hier nicht erlauben die Klappe so weit aufzureißen ;)
Früher bin ich solche Beweise auch so angegangen. Ich hab ein bisschen umgeformt und dort eingesetzt und da eingesetzt und auch hier eingesetzt und plötzlich stand etwas wahres da und schon dachte ich, ich habe es bewiesen.
Aber es scheint bei deinen Ausführungen ja so zu sein, dass du von einer Formel etwas umformst und dieses dann in die gleiche Formel wieder einsetzt. Da kommt dann ja zwangsläufig etwas richtiges heraus.
Bedenke auch: Was ist wenn [mm] \vec{a}=\vec{b} [/mm] ist? Dann hättest du im Nenner eine null. Das würde da sowieso krachen...
Um es noch einmal deutlich zu schreiben: [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind kollinear wenn t existiert, sodass [mm] \vec{a}=t\vec{b}.
[/mm]
Setze das natürlich ein und dann...
Es ist wohl eher ein Beweis, den man durch reines Ausrechnen führen kann. Das ist recht schnell erledigt.
Ok, schöne Grüße
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Okay , danke für die Antwort.
Wenn ich jetzt also [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] t\vec{b} [/mm] habe und dieses in die Gleichung einsetze :
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] t\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] t\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
Was mache ich jetzt weiter ?
Das Problem ist , ich weiß garnicht , wo ich am Ende rauskommen soll , also was am Ende stehen soll und wo ich dann sagen kann , ah diese Zeile bzw. Gleichung ist so und so und deswegen so und so.
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[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = u* [mm] \vec{b}
[/mm]
Das muss ich doch jetzt für [mm] \vec{a} [/mm] einsetzen , also :
[mm] \vec{x} [/mm] = u [mm] *\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{b}
[/mm]
Okay , das verstehe ich ja , aber mein Problem ist , ich weiß garnicht was ich machen soll , also nach was oder wie ich umformen soll , das ist mein Problem.
Liegt vielleicht auch daran , dass wir das garnicht hatten und ich jetzt hier vorarbeite , will das trotzdem gerne lösen.
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Ok ich verstehe dein Problem.
Also wenn [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] kollinear sind, dann existiert auch ein k, sodass [mm] \vec{x}=k\vec{y}.
[/mm]
Wir versuchen nun dieses k zu berechnen.
Wir wissen, dass [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] kollinear sind. Damit existiert ein s, sodass [mm] \vec{a}=s\vec{b}.
[/mm]
Damit ist: [mm] \vec{x}=s\vec{b}+\vec{b}=(s+1)\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{y}=s\vec{b}-\vec{b}=(1-s)\vec{b}
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran! Setze dies nun hier [mm] \vec{x}=k\vec{y} [/mm] ein und ziehe deine Schlussfolgerungen. Denk dran: Wir wollen k "berechnen". Gibt es einen Sonderfall? Denk dran: Vektoren kann man nicht dividieren.
(P.S. Lass bei deinen Formeln kein Leerzeichen zwischen einzelnen Zeichen, dann wird auch alles schön sauber in Latex umgewandelt. Andernfalls sieht es einfach nicht schön aus ;) )
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Vielen Dank.
Hab jetzt
[mm] \vec{b}*(s+1) [/mm] = [mm] k*\vec{b}*(s-1)
[/mm]
Allerdings blockiert mich die Regel "Keine Division von Vektoren" enorm , da ich überhaupt nix anfangen kann.
Ich würde ja gerne nach k umformen , aber da du das in Anführungszeichen geschrieben hast , kann ich hier nicht das übliche mathematische machen , sondern muss bis zu einem bestimmten Punkt , wo ich mit den Augen sehen kann , dass da was abhängig sein soll.
Aber mathematisch schaffe ich das nicht , da meine Rechenoperation in dem Fall "verboten" ist.
Ich habe jetzt das hier :
[mm] \bruch{\vec{b}*(s+1)}{(s-1)} [/mm] = [mm] -\vec{b}
[/mm]
=> [mm] -\vec{b} [/mm] = [mm] k*\vec{b}*(s+1)
[/mm]
0 = [mm] k*\vec{b}*(s+1)-\vec{b}
[/mm]
Ist das schon besser ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 04.09.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Sekunde , ich hab doch was. Kommt gleich.
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> Vielen Dank.
>
> Hab jetzt
>
> [mm]\vec{b}*(s+1)[/mm] = [mm]k*\vec{b}*(s-1)[/mm]
Das sieht gut aus. Das ganze Zeugs vor den Vektoren sind ja Skalare.
Wenn das gleich ist, dann ist $ (s+1)=k*(s-1) $ [Stichwort: "Koeffizientenvergleich"]
Das kannst du nun nach k umformen. Dabei ist [mm] s\not=1. [/mm] Behandel diesen Fall als Sonderfall. Was bedeutet denn s=1 für die Vektoren? Was ist denn da [mm] \vec{y} [/mm] ?
Aber das k hast du damit berechnet. Also existiert solch ein k, damit hat man die Kollinearität bestätigt.
>
> Allerdings blockiert mich die Regel "Keine Division von
> Vektoren" enorm , da ich überhaupt nix anfangen kann.
>
> Ich würde ja gerne nach k umformen , aber da du das in
> Anführungszeichen geschrieben hast , kann ich hier nicht
> das übliche mathematische machen , sondern muss bis zu
> einem bestimmten Punkt , wo ich mit den Augen sehen kann ,
> dass da was abhängig sein soll.
>
> Aber mathematisch schaffe ich das nicht , da meine
> Rechenoperation in dem Fall "verboten" ist.
>
> Ich habe jetzt das hier :
>
> [mm]\bruch{\vec{b}*(s+1)}{(s-1)}[/mm] = [mm]-\vec{b}[/mm]
>
>
> => [mm]-\vec{b}[/mm] = [mm]k*\vec{b}*(s+1)[/mm]
>
> 0 = [mm]k*\vec{b}*(s+1)-\vec{b}[/mm]
Hier weiß ich leider nicht so richtig, wie du darauf kommst. Auf einmal ist das k weg, dann ist es wieder da.
Verfolge den obigen Ansatz, der ist zielführend.
>
> Ist das schon besser ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Di 04.09.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Okay , vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe es schnell geschrieben und hab nur eine Seite berechnet und dann kam die zweite hinzu.Sorry.
Ich werd jetzt nach k umformen und dann wird bewiesen , dass ein k existiert und es kollinear ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Di 04.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Okay , vielen Dank für die Hilfe.
>
> Ich habe es schnell geschrieben und hab nur eine Seite
> berechnet und dann kam die zweite hinzu.Sorry.
>
> Ich werd jetzt nach k umformen und dann wird bewiesen ,
> dass ein k existiert und es kollinear ist.
Das ist dann schon bewiesen.
>
>
Es war doch [mm] \vec{y}=s\vec{b}-\vec{b}=(1-s)\vec{b}. [/mm] Für s=1 ist also [mm] \vec{y} [/mm] der Nullvektor. Der ist immer zu anderen Vektoren kollinear.
#
Anm.: Hier haben wir einen Vektor genutzt, um den anderen darzustellen. Man kann das auch anders herum machen. Also man kann auch [mm] r\vec{a}=\vec{b} [/mm] setzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Di 04.09.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Okay , dankeschön , wieder was dazu gelernt.
Das Vorarbeiten wird sich lohnen :D
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