Beweise mit den Körperaxiomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seien [mm] x,y,z,a\in [/mm] K, K ein Körper. Zeigen sie mit den Körperaxiomen:
(1) [mm] (x^{-1})^{-1}=x
[/mm]
(2) [mm] (x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}
[/mm]
(3) (-1)*(-1)=1
(4) [mm] \bruch{x}{y}*(\bruch{z}{a})^{-1}=\bruch{a*x}{y*z} [/mm] für [mm] y,z,a\not= [/mm] 0 |
Ich bin mir hier extrem unsicher bzw. kann nich mit dem hoch -1 umgehn.
Zu(1):
Ich habe mir überlegt, dass man das vllt so zeigen kann:
[mm] (x^{-1})^{-1} [/mm] ist multiplikatives inverses zu [mm] x^{-1} [/mm] und dieses wiederum multiplikatives Inverses zu x. Auf Grund der eindeutigen Existenz des multiplikativen inversen ist dass Inverse zum Inversen eines Elements eines Körpers wieder das Element selbst und damit [mm] (x^{-1})^{-1}=x.
[/mm]
Geht das so?
Zu (2):
Hier hänge ich, weil ich die Klammer hoch -1 nicht weg bekomme ... kann ich hier evtl auch wieder mit der Eindeutigkeit argumentieren? Wenn ja wäre ich über einen Anstoß dankbar.
Zu(3):
Hier habe ich mir überlegt dass man (-1) ja auch als [mm] (-\bruch{1}{1}) [/mm] und damit als [mm] (-1)^{-1} [/mm] schreiben kann und dann gilt:
[mm] (-1)*(-1)=(-1)*(-\bruch{1}{1})=(-1)*(-1)^{-1}=1, [/mm] da [mm] (-1)^{-1} [/mm] das multiplikative Inverse zu (-1) ist.
Kann ich das so machen oder beruht der Schritt von (-1) zu [mm] (-\bruch{1}{1}) [/mm] schon nicht mehr auf den Axiomen?
Zu(4)
Hier muss ich ja eigentlich nur zeigen, dass [mm] (\bruch{z}{a})^{-1}=(\bruch{a}{z}) [/mm] aber wie mache ich das? Ich habe hier wieder das gleiche Problem wie bei (2), dass ich die Klammer hoch -1 nicht wegbekomme.
Ich wäre dankbar wenn mir jmd bei (2) und (4) einen Anstoß geben könnte und mir sagen ob ich (1) und (3) richtig gelöst habe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Zerwas,
> Seien [mm]x,y,z,a\in[/mm] K, K ein Körper. Zeigen sie mit den
> Körperaxiomen:
> (1) [mm](x^{-1})^{-1}=x[/mm]
> (2) [mm](x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}[/mm]
> (3) (-1)*(-1)=1
> (4) [mm]\bruch{x}{y}*(\bruch{z}{a})^{-1}=\bruch{a*x}{y*z}[/mm] für
> [mm]y,z,a\not=[/mm] 0
> Ich bin mir hier extrem unsicher bzw. kann nich mit dem
> hoch -1 umgehn.
>
> Zu(1):
> Ich habe mir überlegt, dass man das vllt so zeigen kann:
> [mm](x^{-1})^{-1}[/mm] ist multiplikatives inverses zu [mm]x^{-1}[/mm] und
> dieses wiederum multiplikatives Inverses zu x. Auf Grund
> der eindeutigen Existenz des multiplikativen inversen ist
> dass Inverse zum Inversen eines Elements eines Körpers
> wieder das Element selbst und damit [mm](x^{-1})^{-1}=x.[/mm]
> Geht das so?
ja.
> Zu (2):
> Hier hänge ich, weil ich die Klammer hoch -1 nicht weg
> bekomme ... kann ich hier evtl auch wieder mit der
> Eindeutigkeit argumentieren? Wenn ja wäre ich über einen
> Anstoß dankbar.
Siehe meine Antwort zu deiner anderen Frage.
> Zu(3):
> Hier habe ich mir überlegt dass man (-1) ja auch als
> [mm](-\bruch{1}{1})[/mm] und damit als [mm](-1)^{-1}[/mm] schreiben kann und
> dann gilt:
> [mm](-1)*(-1)=(-1)*(-\bruch{1}{1})=(-1)*(-1)^{-1}=1,[/mm] da
> [mm](-1)^{-1}[/mm] das multiplikative Inverse zu (-1) ist.
> Kann ich das so machen oder beruht der Schritt von (-1) zu
> [mm](-\bruch{1}{1})[/mm] schon nicht mehr auf den Axiomen?
Ist das nicht etwas kompliziert? Du kannst es ja genauso machen wie zuvor: $-1$ ist ja das eindeutige Element aus $K$ so, dass $1 + (-1) = 0$ ist, und ebenso ist $1$ das eindeutige Element aus $K$ so, dass $1 + (-1) = 0$ ist. Also musst du zeigen, dass $(-1) * (-1) + (-1) = 0$ ist. Und dazu kannst du benutzen, dass $(-1) = (-1) * 1$ ist, und das man Ausklammern kann (Distributivitaetsgesetz).
> Zu(4)
> Hier muss ich ja eigentlich nur zeigen, dass
> [mm](\bruch{z}{a})^{-1}=(\bruch{a}{z})[/mm] aber wie mache ich das?
> Ich habe hier wieder das gleiche Problem wie bei (2), dass
> ich die Klammer hoch -1 nicht wegbekomme.
Hier solltest du auch erstmal [mm] $\frac{z}{a}$ [/mm] und [mm] $\frac{x}{y}$ [/mm] als $z [mm] a^{-1}$ [/mm] bzw. $x [mm] y^{-1}$ [/mm] umschreiben, etc. Und dann einfach die anderen schon gezeigten Sachen benutzen, das sollte nicht allzu schwer sein...
LG Felix
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