Beweise die folgende Gleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 12.01.2005 | | Autor: | zero1 |
Ich brauche Hilfe bei dem Beweiß foldende Gleichung:
Sei [mm] \beta\in(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] x=tan\beta [/mm] . Zeigen Sie
[mm] \bruch{1+ix}{1-ix} [/mm] = [mm] exp(2i\beta) [/mm] .
Vielen Dank
(Bitte um schnellen Antwort oder Vorschegshilfe)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mi 12.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi zero1
> Ich brauche Hilfe bei dem Beweiß foldende Gleichung:
>
> Sei [mm]\beta\in(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm] und
> [mm]x=tan\beta[/mm] . Zeigen Sie
>
> [mm]\bruch{1+ix}{1-ix}[/mm] = [mm]exp(2i\beta)[/mm] .
>
> Vielen Dank
mal eine skizze zum möglichen vorgehen:
ersetze in [mm]\bruch{1+i\tan \beta}{1-i\tan \beta}[/mm] [m] \tan\beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} [/m] und bringe im nenner und zähler alles auf einen bruchstrich. um den nenner von komplexen zahlen zu befreien mit dem komplex konjugierten des nenners erweitern.
dnach genügt die anwendung der additionstheoreme [m] \cos (2\beta) = \cos^2 \beta - \sin^2 \beta [/m] und [m] \sin (2 \beta) = 2 \sin \beta \cos \beta [/m] um das gewünschte - nämlich [m] \cos 2 \beta + i \sin 2 \beta [/m] - zu erhalten!
grüße
andreas
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Hallo, Zero1
die Winkel der beiden Komplexen ist [mm] $\pm \beta$, [/mm] die Beträge sind gleich
und
Betrag des Quotienten = Quotient der Beträge,
Winkel des Quotienten = Differenz der Winkel ( ZählerWinkel - Nennerwinkel )
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