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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | a) Sie K ein angeordneter Körper und 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] K. Zeigen Sie, dass
[mm] |x^{-1}| [/mm] = [mm] |x|^{-1}
[/mm]
b) Es sei 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \varepsilon \IC. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] {|x^{-1}| = |x|^{-1}} [/mm] |
Hallo. Wie könnte man sowas zeigen? Also nur von der Herangehensweise. Brauche da echt Hilfe.
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zu erstens:
Betrachte [mm]1 = x*x^{-1}[/mm] und benutze, dass die Norm [mm]|\cdot |[/mm] ein Homomophismus ist.
zu zweitens:
Sei [mm]z\in \IC[/mm] also [mm]z=a+bi[/mm] mit [mm]a,b\in \IR \setminus \{0\}[/mm]. Dann ist [mm]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm]. Stelle [mm] $z^{-1}$ [/mm] auf und berechne damit die Norm.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Das zweite versuch ich jetzt mal, aber das erste versteh ich nicht. Dem Begriff des H. hatten wir noch nicht, deswegen weiß ich nicht, was du damit meinst. Laut Skript wird der Begriff erst später eingeführt.
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zu erstens:
in einem angeordneten Körper gilt [mm]|y*x|=|y|*|x|[/mm]. Nun ist ja [mm]1=x*x^{-1}[/mm]. Damit kannst du dein Glück versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Irgendwie komme ich nicht dahinter, worauf du hinausmöchtest. Ich hab ehrlich gesagt auch keine Ahnung, was ich hier rechnen soll. Da "=" in der zu zeigenden Aussage steht, braucht man doch nur die Gleichheit zu zeigen. Aber wie kann man das?
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Hallo SolRakt,
> Irgendwie komme ich nicht dahinter, worauf du
> hinausmöchtest. Ich hab ehrlich gesagt auch keine Ahnung,
> was ich hier rechnen soll. Da "=" in der zu zeigenden
> Aussage steht, braucht man doch nur die Gleichheit zu
> zeigen. Aber wie kann man das?
Nutze den Tipp. Du musst es nur mal zusammensetzen,.
Ohne eigenes (oft auch falsches) Probieren kommst du in Mathe nicht sehr weit!
Es ist [mm]\left|x\cdot{}x^{-1}\right|=|x|\cdot{}\left|x^{-1}\right|[/mm]
Andererseits [mm]\left|x\cdot{}x^{-1}\right|=|1|=1[/mm]
Also [mm]|x|\cdot{}\left|x^{-1}\right|=1[/mm]
Andererseits bezeichnet [mm]|x|^{-1}[/mm] formal das Inverse zu [mm]|x|[/mm]
Was folgt nun mit der Eindeutigkeit des Inversen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ne sry. Ich gib mir wirklich Mühe, aber komme einfach nicht drauf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Def. von [mm] x^{-1} [/mm] und [mm] |x|^{-1} [/mm] schreib sie hin:
danach lies nochmal die Ratschläge!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Nur, damit das nicht mein Denkfehler ist. [mm] x^{-1} [/mm] ist doch das Inverse zu x. Aber [mm] |x|^{-1} [/mm] doch irgendwie auch? Ist da ein großer Unterschied?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Nur, damit das nicht mein Denkfehler ist. [mm]x^{-1}[/mm] ist doch
> das Inverse zu x.
Ja, aber wie ist das Inverse definiert?
Aber [mm]|x|^{-1}[/mm] doch irgendwie auch? Ist da
> ein großer Unterschied?
"irgendwie" ist im mathe sehr schlecht, da kann man ja nie nein sagen. da für manche x gilt |x|=x ist es nicht immer falsch. zu was ist denn ohne irgendwie [mm] |x|^{-1} [/mm] das inverse?
und wieder, wie ist es definiert? das ^{-1} ist hier nur eine übliche Abkürzung für inv(x), man könnte vielleicht für dich besser schreiben inv(x)stehen lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, ich geh das Ganze nochmal durch:
Wenn man schreibt:
[mm] |x^{-1}| [/mm] Dann ist das doch gleichbedeutend mit:
[mm] |\bruch{a-ib}{a^{2}+b^{2}}| [/mm] So ist ja das Inverse definiert, wenn man jetzt a+ib als eine komplexe Zahl angesehn hätte.
Aber [mm] |x|^{-1} [/mm] ist doch das hier:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{a^{2} + b^{2}}} [/mm] Oder ist das trotzdem noch das Inverse?
Oder irre ich mich da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also, ich geh das Ganze nochmal durch:
>
> Wenn man schreibt:
>
> [mm]|x^{-1}|[/mm] Dann ist das doch gleichbedeutend mit:
>
> [mm]|\bruch{a-ib}{a^{2}+b^{2}}|[/mm] So ist ja das Inverse
> definiert, wenn man jetzt a+ib als eine komplexe Zahl
> angesehn hätte.
dies gilt für Aufgabe b) wo [mm] x\in \IC
[/mm]
aber eigentlich ist die [mm] x^{-1} [/mm] definiert durch [mm] x*x^{-1}=1_K
[/mm]
[mm] 1_k [/mm] das neutrale element der Mult in K.
entsprechend |x|^-1
da du das im Fall b zeigen kannst sind deine inversen richtig. und du musst also nur ausrechnen [mm] dass|z^{-1}|=|z|^{-1}
[/mm]
bei a) hast du kein explizites inverses, weil du ja K nicht kennst.
da brauchst du also Rechengesetze, und kannst nicht einfach nachrechnen. aber dazu hattest du ja schon tips.
Gruss leduart
> Aber [mm]|x|^{-1}[/mm] ist doch das hier:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{a^{2} + b^{2}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oder ist das trotzdem
> noch das Inverse?
die frage versteh ich nicht. $\bruch{1}{\wurzel{a^{2} + b^{2}}}$ ist das inverse zu |x|=\wurzel{a^{2} + b^{2}
denn das produkt gibt 1+0*i das neutr. element von \IC
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich versuch jetzt erstmal die a mit euren Tipps.
z.z. [mm] |x^{-1}| [/mm] = [mm] |x|^{-1}
[/mm]
So, damit ich das richtig verstehe. Das [mm] |x|^{-1} [/mm] auf der rechten Seite beschreibt formal das Inverse zu x, was man ja nicht genau kennt. Spielt aber auch keine Rolle.
Das andere [mm] x^{-1} [/mm] (linke Seite) ist gleichbedeutend mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] oder wie?
Naja, nach euren Tipps könnte ich auf beiden Seite [mm] \* [/mm] |x| nehmen oder?
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> Ich versuch jetzt erstmal die a mit euren Tipps.
>
> z.z. [mm]|x^{-1}|[/mm] = [mm]|x|^{-1}[/mm]
>
> So, damit ich das richtig verstehe. Das [mm]|x|^{-1}[/mm] auf der
> rechten Seite beschreibt formal das Inverse zu x, was man
NEIN!
Es beschreibt das Inverse von |x|!!! i.A. [mm]|x|^{-1}\neq x^{-1}[/mm]
> ja nicht genau kennt. Spielt aber auch keine Rolle.
>
> Das andere [mm]x^{-1}[/mm] (linke Seite) ist gleichbedeutend mit
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] oder wie?
Ja, wenn die Verknüpfung die Multiplikation ist.
>
> Naja, nach euren Tipps könnte ich auf beiden Seite [mm]\*[/mm] |x|
> nehmen oder?
Des Rätsels Lösung
[mm]\blue{1}=x*x^{-1} \Rightarrow 1=|1|=|x*x^{-1}|=\blue{|x|*|x^{-1}|}\gdw \blue{1= |x|*|x^{-1}|}\gdw \green{|x|^{-1}}*1=|x|^{-1}*|x|*|x^{-1}|=\green{|x^{-1}|}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Boah, das war ja wirklich nicht schwer. Wenn man das so sieht. Ok, dann waren die Tipps echt ausreichend. Hab irgendwie nicht gesehn, dass man das so machen kann. Danke aber sehr dafür.
Ähm, wegen der b. Ich hab da mal eingsetzt und folgendes raus. Stimmt das?
Da steht ja:
[mm] |x^{-1}| [/mm] = [mm] |x|^{-1}
[/mm]
Erstmal die linke Seite. Das heißt doch, dass erst das Inverse gebildet wird und dann erst der Betrag eine Rolle spielt. Da steht also:
[mm] \wurzel{\bruch{1}{a^{2}} + \bruch{1}{-b^{2}}}
[/mm]
Die rechte Seite demnach erst Betrag und dann das andere.
[mm] \bruch{1}{\wurzel{a^{2} + b^{2}}}
[/mm]
Aber diese beiden Terme sind nicht gleich. Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst Rückschritte!
lies nochmal meinen älteren post zu b.
dies hier ist Unsinn zu was soll den $ [mm] \wurzel{\bruch{1}{a^{2}} + \bruch{1}{-b^{2}}} [/mm] $ das Inverse sein. probe auf 1 machen!
Gruss leduart
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