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| Aufgabe | | Wie nennen zwei natürliche Zahlen a und b äquivalent, wenn natürliche Zahlen p und q existieren, so dass [mm] a^p [/mm] = [mm] b^q. [/mm] Man beweise, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man schreibe wenigstens drei verschieden Äquivalenzklassen hin, aber am besten alle. |
Hallihallo,
ich grübel über der Aufgabe schon eine ganze weile aber finde irgendwie keinen richtigen Ansatz. Ich hatte schon überlegt ob man mit dem kleinen Fermatschen Satz was machen könnte, aber das führt glaube ich zu nichts. Wäre toll wenn mir jemand nen Ansatz liefern könnte.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wie nennen zwei natürliche Zahlen a und b äquivalent, wenn
> natürliche Zahlen p und q existieren, so dass [mm]a^p[/mm] = [mm]b^q.[/mm]
> Man beweise, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man
> schreibe wenigstens drei verschieden Äquivalenzklassen hin,
> aber am besten alle.
> Hallihallo,
>
> ich grübel über der Aufgabe schon eine ganze weile aber
> finde irgendwie keinen richtigen Ansatz.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wo liegt denn Dein Problem? Wofür findest Du keinen Ansatz?
Bereits für die Äquivalenzrelation?
Du hast ja [mm] a\sim [/mm] b <==> es gibt [mm] p,q\in \IN [/mm] mit [mm] a^p=b^q.
[/mm]
Nun mußt Du Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen.
Gruß v. Angela
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Ja mein Problem liegt quasi ganz am Anfang, also wie kann ich diesen Beweis führen. Reicht das wenn man diese 3 Eigenschaften zeigt? Wie macht man das dann konkret?
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> Ja mein Problem liegt quasi ganz am Anfang, also wie kann
> ich diesen Beweis führen. Reicht das wenn man diese 3
> Eigenschaften zeigt? Wie macht man das dann konkret?
Ja, Du mußt die drei Eigenschaften zeigen.
Es war ja
$ [mm] a\sim [/mm] $ b <==> es gibt $ [mm] p,q\in \IN [/mm] $ mit $ [mm] a^p=b^q. [/mm] $
Ich zeige Dir jetzt exemplarisch mal die Symmetrie.
Die Frage ist hier: wenn [mm] a\sim [/mm] $ b, ist dann auch [mm] b\sim [/mm] $ a?
Es sei [mm] a\sim [/mm] $ b.
Nach Definition von [mm] \sim [/mm] gibt es also p,q [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a^p=b^q [/mm] ==> es gibt p,q [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] b^q=a^p [/mm] .
Nach Def, folgt hieraus [mm] b\sim [/mm] a.
Also ist die Relation symmetrisch.
Versuch Dich nun an den anderen beiden Punkten.
Gruß v. Angela
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Mh, also für die Reflexivität ist das ja einfach, aber bei Transitivität fehlt doch eine zweite Relation. Oder kann man dann einfach sagen dass es z.B. ein [mm] c^r [/mm] gibt so dass [mm] a^p \sim c^r [/mm] und [mm] c^r \sim b^q, a^p \sim b^q [/mm] ergibt?
Und wie komme ich dann auf die Äquivalenzklassen die man dann noch nennen soll?
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Hallo,
wenn Du Antworten haben möchtest, achte darauf, daß Du eine Frage als Frage (rotes Kästchen) einstellst und nicht als Mitteilung.
So sieht jeder, daß da jemand eine Frage hat.
> Mh, also für die Reflexivität ist das ja einfach, aber bei
> Transitivität fehlt doch eine zweite Relation.
Ömmm - eine zweite Relation??? Das wollen wir nicht. Wir haben genug mit der Untersuchenung dereinen, mit [mm] \sim, [/mm] zu tun.
Oder kann
> man dann einfach sagen dass es z.B. ein [mm]c^r[/mm] gibt so dass
> [mm]a^p \sim c^r[/mm] und [mm]c^r \sim b^q, a^p \sim b^q[/mm] ergibt?
Vielleicht meinst Du das Richtige.
Wenn [mm] a\sim [/mm] b und [mm] b\sim [/mm] c, dann gibt es p,q,r,s mit [mm] a^p=b^q [/mm] und [mm] b^r=c^s.
[/mm]
Nun mußt Du irgendwie den Bogen von a zu c schlagen.
> Und wie komme ich dann auf die Äquivalenzklassen die man
> dann noch nennen soll?
Da muß man sich dann irgendwie überlegen, wie für ein vorgegebenes a die Menge aller zu a äquivalenten Elemente aussieht.
Gruß v. Angela
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