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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
Für beliebe Mengen A, B, C einer beliebigen Grundmenge G gilt:
(A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \subseteq [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] C)
Kommentar: A, B, C sind Teilmengen von G. |
Meine Lösung hierfür wäre:
Sei A:= {a,b, c} und da A [mm] \subseteq [/mm] B, sei B:= {a,b,c,d}
Da B [mm] \subseteq [/mm] C, sei C:= {a,b,c,d,e}
Es ist schließlich egal, aus wie vielen Elementen A,B und C bestehen, es folgt stets, dass dann auch A [mm] \subseteq [/mm] C gilt.
q.e.d.
Ich befürchte aber, dass das so nicht in Ordnung ist, oder? -.- Weil es ja im Grunde genommen für eine dreielementige Menge A, eine vierelementige Menge B und eine fünfelementige Menge C gezeigt worden ist, dabei sollen es ja jeweils beliebige Mengen sein?
Könnt ihr mir sagen, wie ich sowas dann allgemeingültig zeigen kann, wenn meine Vorgehensweise nicht in Ordnung ist?
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Hallo Study1988,
> Beweisen oder widerlegen Sie:
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> Für beliebe Mengen A, B, C einer beliebigen Grundmenge G
> gilt:
> (A [mm]\subseteq[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\subseteq[/mm] C) [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\subseteq[/mm]
> C)
> Kommentar: A, B, C sind Teilmengen von G.
> Meine Lösung hierfür wäre:
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> Sei A:= {a,b, c} und da A [mm]\subseteq[/mm] B, sei B:= {a,b,c,d}
> Da B [mm]\subseteq[/mm] C, sei C:= {a,b,c,d,e}
> Es ist schließlich egal, aus wie vielen Elementen A,B und
> C bestehen, es folgt stets, dass dann auch A [mm]\subseteq[/mm] C
> gilt.
>
> q.e.d.
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> Ich befürchte aber, dass das so nicht in Ordnung ist,
> oder? -.- Weil es ja im Grunde genommen für eine
> dreielementige Menge A, eine vierelementige Menge B und
> eine fünfelementige Menge C gezeigt worden ist, dabei
> sollen es ja jeweils beliebige Mengen sein?
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> Könnt ihr mir sagen, wie ich sowas dann allgemeingültig
> zeigen kann, wenn meine Vorgehensweise nicht in Ordnung
> ist?
Naja, einen Beweis kann man schlecht an einem Bsp. führen.
Wohl aber einen Gegenbeweis, da reicht ein Gegenbsp. aus, um die Aussage zu widerlegen.
Hier ist es so, dass die Richting [mm] $[\Rightarrow]$ [/mm] relativ offensichtlich gilt, denn
Gelte [mm] $(A\subset [/mm] B) \ [mm] \wedge [/mm] \ [mm] (B\subset [/mm] C)$
zu zeigen: [mm] $A\subset [/mm] C$, also [mm] $x\in A\Rightarrow x\in [/mm] C$
Sei also [mm] $x\in [/mm] A$, dann ist wegen [mm] $A\subset [/mm] B$ auch [mm] $x\in [/mm] B$ und wegen [mm] $B\subset [/mm] C$ dann auch [mm] $x\in [/mm] C$
fertig.
Allerdings wird ein Beweis der Richtung [mm] $[\Leftarrow]$ [/mm] scheitern, weil die Aussage in diese Richtung nicht gilt.
Das kannst du dir an einem einfachen Gegenbsp. mal überlegen.
Nimm kleine Mengen $A,B,C$ mit [mm] $A\subset [/mm] C$, wo aber nicht [mm] $A\subset [/mm] B$ oder nicht [mm] $B\subset [/mm] C$ gilt.
Ein bisschen Knobelei, aber nichts wildes ...
Gruß
schachuzipus
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