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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 29.10.2011 | | Autor: | julius93 |
| Aufgabe | 1.Entscheiden Sie, ob folgende Identitäten für beliebige Mengen A,B,C,D erfüllt sind. Geben sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
a) A [mm] \setminus [/mm] ( [mm] B\cap [/mm] C ) = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C )
b) A [mm] \setminus [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C ) =(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] ( A [mm] \setminus [/mm] C )
c) ( A [mm] \setminus [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( C [mm] \setminus [/mm] D ) = ( A [mm] \setminus [/mm] D ) [mm] \cap [/mm] ( C [mm] \setminus [/mm] B ) |
Hallo Community.
Ich muss bis Dienstag ein Übungsblatt lösen und tue mich mit dieser Aufgabe etwas schwer. Ich habe Probleme mit der Formulierung " beliebige Mengen ". Bisher habe ich solche Beweise nur durchgeführt mit der Bedingung, dass die gegebenen Mengen Teilmengen voneinander sind. Ausserdem denke ich, dass diese Beziehungen immer gelten, wenn alle diese Mengen disjunkt zueinander sind. Stimmt das?
Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Tips geben und zu meinen Lösungsansätzen Stellung nehmen.
a) Ich habe bereits einen Beweis einer deMorgan Regel aufgestellt. Das ist diese hier:
A [mm] \setminus [/mm] ( [mm] B\cap [/mm] C ) = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C ). Jedoch unter der Voraussetzung mit den Teilmengen.. Reicht es diesen Beweis als Gegenbeispiel anzuführen?
b) Da gibt es auch wieder eine deMorgan Regel, die ich vllt als Gegenbeispiel anführen würde.
A [mm] \setminus [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C ) =(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \setminus [/mm] C ). Jedoch auch wieder unter o.g. Voraussetzung. Würde das reichen? Oder gar ein Beispiel mit gegebenen Mengen ausdenken?
c) ich denke diese Identität ist richtig.
Ich hoffe ihr könnt mir irgendwie helfen..
Liebe Grüße, Julius
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin Julius,
Ein Gegenbeispiel heißt so, weil es wirklich ein Beispiel ist.^^
Also du brauchst hier ein explizites Gegenbeispiel wenn du es widerlegen willst.
Dafür gibt es im klassischen drei Möglichkeiten:
1. Du gibst explizite Mengen an, also sowas in der Form $A = [mm] \{1,2\}$, [/mm] B=...
Hierbei solltest du entweder sehr kleine Mengen (höchstens 4 Elemente) nehmen oder aber bekannte Mengen wie [mm] $\IN,\IZ,\IR$; [/mm] einfach weil alles andere zu viel Schreibarbeit ist.^^
2. Du gibst die Mengen in Abhängigkeit voneinander an, also etwas der Form $B=A, C = A [mm] \cup [/mm] B$ und bastelst daraus ein Gegenbeispiel.
3. Ein sehr schöner Trick, der oft Gegenbeispiele hervorbringt, ist die leere Menge.
Entweder du wählst eine deiner Mengen als leere Menge oder du bastelst es so, dass irgend ein Schnitt die leere Menge wird.
Also deine bereits bewiesene Regeln sind kein Gegenbeispiel, sie können dir aber einen Ansatz geben wie du eins konstruieren könntest.
Wenn du es auf der anderen Seite beweisen möchtest darfst du natürlich keine Einschränkungen machen, dann musst du, wie du es sicher schon bei deinen anderen Beweisen gemacht hast, beide Teilmengenrelationen zeigen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 29.10.2011 | | Autor: | julius93 |
Also müsste ich jetzt für a) und b) Gegenbeispiele bringen? Diese sind ja vermutlich falsch, oder?
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jo, das wäre eine gute Idee.^^
Du kannst sogar bei beiden das gleiche Gegenbeispiel benutzen wenn du willst und ein schönes findest. ;)
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