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Zu beweisen: A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A
Da A [mm] \subseteq [/mm] B ist, ist A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B.
Wie geht das weiter, ich komm einfach nicht weiter.....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Milkamaus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zu beweisen: $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A$
[mm] $''\Rightarrow:''$ [/mm] Angenommen es gilt $A [mm] \subseteq [/mm] B$. Dann gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B$. Nehmen wir uns also ein beliebiges Element $y [mm] \in [/mm] A$. So gilt für dieses Element: $y [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] B$. Es scheint mir, daß wir für alle Elemente von A solch eine Betrachtung machen können. Aber die Menge [mm] $\left\{y | y \in A \wedge y \in B\right\}$ [/mm] ist ja gerade die Definition des Schnittes von A und B.
Damit wäre die Richtung wohl gezeigt. Zu der anderen habe ich mir noch nichts überlegt.
Grüße
Karl
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Hallo Milkamaus
Ich werde hier den Beweis mittels formaler Logik zeigen.
Die Aussage [mm]x\in A[/mm] bezeichnen wir mit a, und entsprechend [mm]x\in B\equiv b[/mm].
Dann gilt zu beweisen, dass die Aussage
[mm](a\rightarrow b)\leftrightarrow (a\wedge b\leftrightarrow a)[/mm]
immer wahr ist.
Wir bilden eine Wahrheitstafel:
[mm]
\begin{array}{ccccccc}
a & b & \quad & a\wedge b & a\wedge b\leftrightarrow a & a\rightarrow b & (a\wedge b\leftrightarrow a)\leftrightarrow (a\rightarrow b) \\
& & & & & & \\
0 & 0 & & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
[/mm]
Wie ersichtlich, die zu beweisende Aussage ist immer 1 (wahr).
Q.E.D.
Schöne Grüße, 
Ladis
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