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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallo, nochmal !!!
Ich habe nun wieder mal ein zweites beweistechnisches Problem:
Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe der Körperaxiome für die reellen Zahlen die folgende Behauptung:
[mm] $$\forall [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IR, c\not =0,d\not [/mm] = 0: [mm] \frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}$$
[/mm]
Also mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
[mm] $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}\hspace{0.5cm}|\cdot [/mm] cd$
[mm] $\frac{acd}{c}+\frac{bcd}{d}=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\frac{a\not{c}d}{\not{c}}+\frac{bc\not{d}}{\not{d}}=ad+bc$
[/mm]
$ad+bc=ad+bc$
Eigentlich fertig, oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Mark!
> Hallo, nochmal !!!
>
> Ich habe nun wieder mal ein zweites beweistechnisches
> Problem:
>
> Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe der Körperaxiome für die
> reellen Zahlen die folgende Behauptung:
> [mm]\forall a,b,c,d \in \IR, c\not =0,d\not = 0: \frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}[/mm]
>
>
> Also mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}\hspace{0.5cm}|\cdot cd[/mm]
>
>
> [mm]\frac{acd}{c}+\frac{bcd}{d}=ad+bc[/mm]
>
> [mm]\frac{a\not{c}d}{\not{c}}+\frac{bc\not{d}}{\not{d}}=ad+bc[/mm]
> [mm]ad+bc=ad+bc[/mm]
>
> Eigentlich fertig, oder ?
Eigentlich schon, nur mußt du dir im Klaren sein, von wo nach wo du gehen willst und was dabei alles einfließt.
Also, deinen Beweis würde ich so aufschreiben:
Es gilt:
$ad+bc=ad+bc$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m](ad)*\underbrace{1}_{=c^{-1}*c,\;beachte:\,c\not=0}+(bc)*\underbrace{1}_{=d^{-1}*d,\;beachte:\,d\not=0}=ad+bc[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(ad)*(c^{-1}c)+(bc)*(d^{-1}d)=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(ad)(cc^{-1})+(bc)(dd^{-1})=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $((ad)c)c^{-1}+((bc)d)d^{-1}=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(a(dc))c^{-1}+(b(cd))d^{-1}=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(a(cd))c^{-1}+(b(cd))d^{-1}=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $((cd)a)c^{-1}+((cd)b)d^{-1}=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(cd)(ac^{-1})+(cd)(bd^{-1})=ad+bc$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(cd)*\left[ac^{-1}+bd^{-1}\right]=ad+bc$
[/mm]
Da $c,d [mm] \not=0$ $\Rightarrow$ $cd\not=0$ $\Rightarrow$ $(cd)^{-1}$ [/mm] existiert, also geht es oben weiter:
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(cd)^{-1}*\left((cd)*\left[ac^{-1}+bd^{-1}\right]\right)=(cd)^{-1}(ad+bc)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m][(cd)^{-1}*(cd)]*\left(c^{-1}a+d^{-1}b\right)=(cd)^{-1}(ad+bc)[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $1*\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\right)=\frac{ad+bc}{cd}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}$
[/mm]
PS: 1.) Mache dir bitte bei jedem dieser Pfeile [mm] $\Rightarrow$ [/mm] klar, welche(s) Körperaxiom(e) da benutzt wird (werden) und ergänze diese!
2.) Ich denke mal, dass ihr definiert habt (für $y [mm] \in \IR \setminus\{0\}$, [/mm] $x [mm] \in \IR$):
[/mm]
[mm] $\frac{x}{y}:=y^{-1}*x$; [/mm] zumindest habe ich das so benutzt.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
Herzlichen Dank, Marcel, für deine schrittweise Beweiserklärung.
Hat mir sehr geholfen.
Im Grunde recht einleuchtend.
MfG Mathmark
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"Mathematik ist eine Wissenschaft, die definierbare Zusammenhänge in Zahlen kleidet, um sie so besser aussehen zu lassen " (Mathmark '05)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallo, ich bins nochmal !!!
Ich habe mir nocheinmal dein Beweisverfahren angeschaut und durchdacht.
Wäre es nicht schon kürzer zu beweisen ?
Es gilt $a+b=a+b$
Da [mm] $c\not [/mm] =0$ und [mm] $d\not [/mm] =0$
$ [mm] \Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\cdot 1+\frac{b}{d}\cdot [/mm] 1$
Wegen [mm] $d\not [/mm] =0$ und [mm] $c\not [/mm] =0$ existiert ein [mm] $d^{-1}$ [/mm] und ein [mm] $c^{-1}$ [/mm] mit [mm] $c\cdot c^{-1}=1=\frac{c}{c}$ [/mm] und [mm] $d\cdot d^{-1}=1=\frac{d}{d}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\cdot \frac{d}{d}+\frac{b}{d}\cdot \frac{c}{c}$ [/mm]
Nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation gilt $cd=dc$
$ [mm] \Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad}{cd}+\frac{bc}{cd}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}$
[/mm]
Das wars !?
Ich hoffe auf ein kleines Statement !!
MfG Mathmark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark!
> Hallo, ich bins nochmal !!!
>
> Ich habe mir nocheinmal dein Beweisverfahren angeschaut und
> durchdacht.
> Wäre es nicht schon kürzer zu beweisen ?
>
> Es gilt [mm]a+b=a+b[/mm]
> Da [mm]c\not =0[/mm] und [mm]d\not =0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}[/mm]
Ja, okay, aber wie habt ihr [mm] $\frac{a}{c}$ [/mm] definiert? Da [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist, gilt ja:
[mm] $c^{-1}*a=a*c^{-1}$ [/mm] ($a [mm] \in \IR$, [/mm] $c [mm] \in \IR\setminus\{0\}$), [/mm] da die Multiplikation $*$ kommutativ ist (nach einem Körperaxiom). Dabei ist [mm] $c^{-1}$ [/mm] das Inverse zu $c$ bzgl. der Multiplikation $*$, was nach einem Körperaxiom existiert.
Daher gilt:
[mm] $\bruch{a}{c}=c^{-1}*a=a*c^{-1}$.
[/mm]
Aber der Ausdruck [mm] $\frac{a}{c}$ [/mm] ist ja einfach nur eine Schreibweise, die eine Definition benötigt, also (für $a [mm] \in \IR$, [/mm] $c [mm] \in \IR\setminus\{0\}$):
[/mm]
(i) [m]\frac{a}{c}:=c^{-1}*a[/m]
oder
(ii) [mm] $\frac{a}{c}:=a*c^{-1}$.
[/mm]
Du mußt dann mit dieser Definition arbeiten und dann beim weiteren Rechnen die Regeln für die Körperaxiome anwenden...
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\cdot 1+\frac{b}{d}\cdot 1[/mm]
Hier geht übrigens dann die Existenz der $1 [mm] \in \IR$ [/mm] ein (Körperaxiom), wonach für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
$1*r=r*1=r$.
> Wegen [mm]d\not =0[/mm] und [mm]c\not =0[/mm] existiert ein [mm]d^{-1}[/mm] und ein
> [mm]c^{-1}[/mm] mit [mm]c\cdot c^{-1}=1=\frac{c}{c}[/mm] und [mm]d\cdot d^{-1}=1=\frac{d}{d}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\cdot \frac{d}{d}+\frac{b}{d}\cdot \frac{c}{c}[/mm]
>
> Nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation gilt [mm]cd=dc[/mm]
Hier würdest du z.B. benutzen, dass für $c,d [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] gilt:
[mm] $c^{-1}*d^{-1}=(cd)^{-1}$ [/mm] (und dabei auch, dass dann $(c*d) [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] ist).
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad}{cd}+\frac{bc}{cd}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}[/mm]
>
> Das wars !?
Naja, als "schulmathematischer Beweis" wäre das in Ordnung. Du rechnest hier, wie in der Schule gewohnt, mit dem Symbolismus [mm] $\frac{a}{c}$. [/mm] Jetzt kenne ich leider eure Vorlesung nicht. Wenn ihr mit diesem Symbolismus gewisse Rechenregeln bewiesen habt, z.B.:
[mm] $\frac{1}{c}*\frac{1}{d}=\frac{1}{cd}=\frac{1}{dc}=(dc)^{-1}=d^{-1}c^{-1}$, [/mm] was dann eigentlich:
[mm] $c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}=(dc)^{-1}=d^{-1}c^{-1}$ [/mm] heißt ($c,d [mm] \in \IR \setminus \{0\}$), [/mm] dann geht das natürlich (wenn man sich darauf beruft. Also müßtest du dann schreiben: nach Satz... gilt:
[mm] $\frac{1}{c}*\frac{1}{d}=\frac{1}{cd}$ $\Rightarrow$ [/mm] ... ). Andernfalls musst du dich auf die "Definition" von [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] ($a [mm] \in \IR, [/mm] b [mm] \in \IR \setminus\{0\}$) [/mm] zurückziehen und darfst halt beim Rechnen auch nur die "Körperaxiome für [mm] $\IR$" [/mm] verwenden. Beachte dabei immer, dass du jeden Schritt mit einem Körperaxiom begründen mußt!
> Ich hoffe auf ein kleines Statement !!
Ich hoffe, du verstehst, wie ich das meine  .
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Marcel !!!
erstmal Danke für deine Unterstützung.
Also bei meinen Angaben über meine Person habe ich ein wenig geschwindelt.Ich bin noch nicht im Grundstudium, aber beginne dann am 01.04. diesen Jahres damit. Ich habe mir ein paar Übungsblätter aus dem Internet von der Uni besorgt, um mich während der Wartezeit ein wenig vorzubereiten.
Nun zu deinen Hinweisen:
Mann muß also für einen Beweis im Vorfeld sämtliche unübliche Schreibweisen definieren, bzw. eigentlich alle Schreibweisen.
Die Körperaxiome benutze ich dann quasi als Algorithmus zum Lösen der "Gleichung".
Ich werde diesen Beweis noch einmal überarbeiten und dann hoffentlich richtig hier posten.
Bis dann, und nochmals Danke
Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark!
> Hallo Marcel !!!
>
> erstmal Danke für deine Unterstützung.
Gern geschehen !
> Also bei meinen Angaben über meine Person habe ich ein
> wenig geschwindelt.
Unverschämtheit  ! Ne, is kein Problem. Bald stimmen sie ja !
> Ich bin noch nicht im Grundstudium, aber
> beginne dann am 01.04. diesen Jahres damit. Ich habe mir
> ein paar Übungsblätter aus dem Internet von der Uni
> besorgt, um mich während der Wartezeit ein wenig
> vorzubereiten.
Sehr lobenswert ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") !
> Nun zu deinen Hinweisen:
>
> Mann muß also für einen Beweis im Vorfeld sämtliche
> unübliche
Unüblich?
> Schreibweisen definieren, bzw. eigentlich alle
> Schreibweisen.
Ja, wie bereits gesagt: Es ist in einem Körper ja gar nicht klar, was [m]\frac{a}{b}[/m] bedeutet. Wir sind, wegen der reellen Zahlen (und aus der Schule), gewohnt, einfach damit umzugehen und glauben zu wissen, was wir machen dürfen und was nicht. Aber eigentlich benötigt man eine Definition, also [m]\frac{a}{b}:=b^{-1} \odot a[/m] oder [mm] $\frac{a}{b}:=a \odot b^{-1}$ [/mm] ([m]a\in \IK, b\in \IK\setminus\{0_{\IK}\}[/m]; wobei [mm] $(\IK;\oplus;\odot)$ [/mm] ein Körper sei und [mm] $0_{\IK}$ [/mm] das neutrale Element bzgl. der Multiplikation [mm] $\odot$). [/mm] Welche dieser Definitionen man benutzt, ist wegen der Kommutativität bzgl. [mm] $\odot$ [/mm] dann wieder eigentlich egal.
Aber: [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] ist "eigentlich" nur eine Symbolik, die wir vor allen bei den reellen Zahlen "locker" handhaben, weil wir es so gelehrt wurden (in der Schule z.B.).
Bei deiner Aufgabe war [mm] $\IK$ [/mm] der Körper der reellen Zahlen versehen mit der "üblichen" Addition bzw. Multiplikation. Eigentlich hätte man erstmal nachzuweisen, dass [m](\IR;+;*)[/m] überhaupt ein Körper ist, also die Körperaxiome erfüllt...
> Die Körperaxiome benutze ich dann quasi als Algorithmus
> zum Lösen der "Gleichung".
So könnte man es ausdrücken. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich werde diesen Beweis noch einmal überarbeiten und dann
> hoffentlich richtig hier posten.
Ja, gerne, kein Thema. Mach das ruhig !
> Bis dann, und nochmals Danke
Auf Bald! ![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 24.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
So, ich hoffe, dass ich jetzt "einigermaßen" richtig liege.
Es gilt: $a+b=a+b$
$*$ [mm] $\forall a\in \IR \backslash\{0\} \exists !b\in \IR \backslash\{0\}$ [/mm] mit $a*b=1$ und [mm] $b:=a^{-1}$ [/mm] $(1)$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=a* c^{-1}+b* d^{-1}\hspace{0.3cm}c,d\in \IR\backslash\{0\}$$
[/mm]
$*$ [mm] $\forall a\in \IR \backslash\{0\} \exists e\in \IR\backslash\{0\}$ [/mm] mit $a*e=a$ und $e:=1$ $(2)$
Wegen $(1)$ und $(2)$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=a* c^{-1}*1+b* d^{-1}*1$$
[/mm]
Da $(1)$ gilt
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=a* c^{-1}*(d*d^{-1})+b*d^{-1}*(c*c^{-1})$$
[/mm]
$*$ [mm] $\forall a,b,c\in \IR$ [/mm] gilt: $a(bc)=(ab)c$ $(3)$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=(a* c^{-1}*d*d^{-1})+(b*d^{-1}*c*c^{-1})$$
[/mm]
$*$ [mm] $\forall a,b\in \IR$ [/mm] gilt: $a*b=b*a$ $(4)$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=(a*d*c^{-1}*d^{-1})+(b*c*c^{-1}*d^{-1})$$
[/mm]
Wegen $(3)$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=a*d*(c^{-1}*d^{-1})+b*c*(c^{-1}*d^{-1})$$
[/mm]
-----------------------------------------------------
Es gilt nun zu zeigen, dass [mm] $c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}$:
[/mm]
[mm] $c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}$ [/mm] $|*cd$
[mm] $c^{-1}*d^{-1}*cd=(c*d)^{-1}*cd$
[/mm]
Wegen (4) folgt
[mm] $c^{-1}*c*d^{-1}*d=(c*d)^{-1}*cd$
[/mm]
mithin (1)
[mm] $1*1=(c*d)^{-1}*cd$
[/mm]
Wegen Eindeutigkeit des inversen Elements in [mm] $\IR\backslash\{0\}$ [/mm] gilt
[mm] $c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}$
[/mm]
----------------------------------------------------
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=a*d*(c*d)^{-1}+b*c*(c*d)^{-1}$$
[/mm]
$*$ [mm] $\forall a,b,c\in \IR$ [/mm] gilt: $(a+b)*c=ac+bc$ $(5)$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a* [mm] c^{-1}+b* d^{-1}=(a*d+b*c)*(c*d)^{-1}$$
[/mm]
Es sei definiert
[mm] $$\alpha) \hspace{0.5cm}\frac{a}{b}:=a*b^{-1}$$
[/mm]
[mm] $$\beta) \hspace{0.5cm}\frac{a}{b*c}:=a*(b*c)^{-1}=a*b^{-1}*c^{-1}$$
[/mm]
Nach Definition folgt
[mm] $$\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}$$
[/mm]
---------------------------------------------------------------
Verwendete Axiome:
$(1)$ multiplikativ inverses Element
$(2)$ neutrales Element der Multiplikation
$(3)$ Assoziativgesetz (bezüglich $*$)
$(4)$ Kommutativgesetz ( " )
$(5)$ Distributivgesetz
Also das müßte es gewesen sein ? (oder)?
Mathmark
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Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark!
> So, ich hoffe, dass ich jetzt "einigermaßen" richtig
> liege.
>
> Es gilt: [mm]a+b=a+b[/mm]
Achja, wenn man ganz penibel ist, erwähnt man an gewissen Stellen auch nochmal die Abgeschlossenheit der Operationen "$+$" bzw. "$*$".
* [mm]\forall a\in \IR \backslash\{0\} \exists !b\in \IR \backslash\{0\}[/mm]
> mit [mm]a*b=1[/mm] und [mm]b:=a^{-1}[/mm]
Was du hier eigentlich nur tun willst, ist zu sagen:
Wenn $b$ das (eindeutig bestimmte) Inverse zu $a$ bzgl. der Multiplikation $*$ zu [mm] $a\in \IR\setminus\{0\}$ [/mm] ist, dann schreiben wir anstelle von $b$ immer: [mm] $a^{-1}$.
[/mm]
Wenn du schreibst: [mm] $b:=a^{-1}$, [/mm] so weiß man gar nicht, was [mm] $a^{-1}$ [/mm] überhaupt ist und damit macht die Definiton in dieser Richtung keinen Sinn. Oder wurde bei den von dir erwähnten Axiomen das Inverse Element bzgl. $*$ sofort mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] bezeichnet?
> [mm](1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=a* c^{-1}+b* d^{-1}\hspace{0.3cm}c,d\in \IR\backslash\{0\}[/mm]
>
> [mm]*[/mm] [mm]\forall a\in \IR \backslash\{0\} \exists e\in \IR\backslash\{0\}[/mm]
> mit [mm]a*e=a[/mm] und [mm]e:=1[/mm]
Hier ist deine Aussage, dass das neutrale Element bzgl. der Multiplikation $*$ gerade die $1 [mm] \in \IR$ [/mm] ist (was dann zu beweisen wäre) oder das wir anstelle von $e$ halt $1$ schreiben, also:
$1:=e$, wobei $e$ das neutrale Element bzgl. $*$ sei...
> [mm](2)[/mm]
> Wegen [mm](1)[/mm] und [mm](2)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=a* c^{-1}*1+b* d^{-1}*1[/mm]
Ich glaube, ich war da vorher auch etwas "schlampig" mit umgegangen. Eigentlich müßte man das hier erstmal so schreiben:
1.) [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=\red{(}a* c^{-1}\red{)}*1+\red{(}b* d^{-1}\red{)}*1[/mm]
(Hier benutzt man dann, dass die $1 [mm] \in \IR$ [/mm] das neutrale Element bzgl. Multipl. ist und dass daher z.B. [mm] $(a*c^{-1})*1=ac^{-1}$ [/mm] gilt.)
oder
2.) [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=a*\red{(} c^{-1}*1\red{)}+b*\red{(} d^{-1}*1\red{)}[/mm]
(Hier benutzt man dann, dass die $1 [mm] \in \IR$ [/mm] das neutrale Element bzgl. Multipl. ist und dass daher z.B. [mm] $c^{-1}*1=c^{-1}$ [/mm] gilt.)
> Da [mm](1)[/mm] gilt
> [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=a* c^{-1}*(d*d^{-1})+b*d^{-1}*(c*c^{-1})[/mm]
, aber genauer (ich mache mal mit meinem Vorschlag 1.) weiter):
[mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=(a* c^{-1})*(d*d^{-1})+(b*d^{-1})*(c*c^{-1})[/mm]
> [mm]*[/mm] [mm]\forall a,b,c\in \IR[/mm] gilt: [mm]a(bc)=(ab)c[/mm] [mm](3)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=(a* c^{-1}*d*d^{-1})+(b*d^{-1}*c*c^{-1})[/mm]
Also, hier läßt du einfach Klammern verschwinden? Was man machen kann:
[mm]a*c^{-1}+b*d^{-1}=(\underbrace{a}_{=:a'}*\underbrace{c^{-1}}_{=:b'})*\underbrace{(d*d^{-1})}_{=c'}+(b*d^{-1})*(c*c^{-1})[/mm]
[mm] $\stackrel{nach\;deinem\;Pkt.\;(3);\;\;(a'*b')*c'=a'*(b'*c')}{\Rightarrow}$ [/mm]
[m]a*c^{-1}+b*d^{-1}=a*(c^{-1}*(d*d^{-1}))+b*(d^{-1}*(c*c^{-1}))[/m]
[mm] $\stackrel{nach\;(4)}{\Rightarrow}$
[/mm]
[m]a*c^{-1}+b*d^{-1}=a*(c^{-1}*(d^{-1}*d))+b*(d^{-1}*(c^{-1}*c))[/m]
[mm] $\stackrel{nach\;(3)}{\Rightarrow}$
[/mm]
[m]a*c^{-1}+b*d^{-1}=a*((c^{-1}*d^{-1})*d)+b*((d^{-1}*c^{-1})*c)[/m]
[mm] $\stackrel{nach\;(4)}{\Rightarrow}$
[/mm]
[m]a*c^{-1}+b*d^{-1}=a*((c^{-1}*d^{-1})*d)+b*((c^{-1}*d^{-1})*c)[/m]
[mm] $\stackrel{nach\;(4)}{\Rightarrow}$
[/mm]
[m]a*c^{-1}+b*d^{-1}=a*(d*(c^{-1}*d^{-1}))+b*(c*(c^{-1}*d^{-1}))[/m]
[mm] $\stackrel{nach\;(3)}{\Rightarrow}$
[/mm]
[m]a*c^{-1}+b*d^{-1}=(a*d)*(c^{-1}*d^{-1})+(b*c)*(c^{-1}*d^{-1})[/m]
So gelangt man zu deinem Ziel .
> -----------------------------------------------------
> Es gilt nun zu zeigen, dass [mm]c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}[/mm]:
> [mm]c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}[/mm] [mm]|*cd[/mm]
> [mm]c^{-1}*d^{-1}*cd=(c*d)^{-1}*cd[/mm]
> Wegen (4) folgt
> [mm]c^{-1}*c*d^{-1}*d=(c*d)^{-1}*cd[/mm]
> mithin (1)
> [mm]1*1=(c*d)^{-1}*cd[/mm]
> Wegen Eindeutigkeit des inversen Elements in
> [mm]\IR\backslash\{0\}[/mm] gilt
> [mm]c^{-1}*d^{-1}=(c*d)^{-1}[/mm]
Also, hier ist der Beweis schwammig bzw., wenn ich das richtig sehe, folgerst du aus der Behauptung eine wahre Aussage. Du brauchst aber die Richtung :
wahre Aussage [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Behauptung. (Z.B.: $-2=2$ ist sicherlich falsch, aber aus $-2=2$ folgt durch quadrieren:
[mm] $(-2)^2=2^2$, [/mm] also $4=4$, was sicherlich stimmt.
Also: Die Richtung:
Behauptung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] wahre Aussage
hilft nicht, um eine Behauptung zu beweisen...)
Das geht hier auch, weil man deine Argumentation auch in die andere Richtung entsprechend lesen kann.
Aber rechne das ganze lieber so:
[mm] $(\star)$ $(c*d)*(c^{-1}*d^{-1})=\dots=1$ [/mm] und benutze dabei Ass., Komm. und neutrales El. bzgl. der Multipl. $*$.
Eine Frage:
Stand bei der Existenz des Inversen bzgl. $*$ wirklich: [mm] $\exists!$, [/mm] also es existiert genau ein Inverses bzgl. $*$? Ich kenne es so, dass man nur die Existenz von (mindestens) einem fordert, und man dann nachweist, dass dieses dann eindeutig bestimmt ist. Naja, dieser "Nachweis" ist dann ein Satz, auf den du dich nach der Rechnung [mm] $(\star)$ [/mm] beziehen müßtest, falls in dem Axiom mit dem Inversen keine Eindeutigkeit gefordert wird. Andernfalls kannst du natürlich mit dem Axiom argumentieren...
> ----------------------------------------------------
> [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=a*d*(c*d)^{-1}+b*c*(c*d)^{-1}[/mm]
, aber wieder mit den Klammern (entschuldige, dass ich da nicht dran gedacht hatte):
[mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=(a*d)*(c*d)^{-1}+(b*c)*(c*d)^{-1}[/mm]
> [mm]*[/mm] [mm]\forall a,b,c\in \IR[/mm] gilt: [mm](a+b)*c=ac+bc[/mm] [mm](5)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=(a*d+b*c)*(c*d)^{-1}[/mm]
Nenen wir das mal [mm] $(\star_2)$, [/mm] also:
[mm] $(\star_2)$[/mm] [mm]a* c^{-1}+b* d^{-1}=(a*d+b*c)*(c*d)^{-1}[/mm]
> Es
> sei definiert
> [mm]\alpha) \hspace{0.5cm}\frac{a}{b}:=a*b^{-1}[/mm]
> [mm]\beta) \hspace{0.5cm}\frac{a}{b*c}:=a*(b*c)^{-1}=a*b^{-1}*c^{-1}[/mm]
[mm] $\beta)$ [/mm] brauchst du nicht mehr zu definieren. Nach [mm] $\alpha)$ [/mm] gilt:
[m]\frac{a}{b*c}=a*(b*c)^{-1}\;\;\;\stackrel{siehe\;oben:\;(c*d)^{-1}=c^{-1}*d^{-1}}{=}\;\;a*(b^{-1}*c^{-1})[/m]. Aber wozu willst du das überhaupt?
>
> Nach Definition folgt
Du meinst: Mit dieser Defintion [mm] $\alpha)$ [/mm] folgt aus:
[mm] $(\star_2)$[/mm] [mm]a* c^{-1}+b* d^{-1}=(a*d+b*c)*(c*d)^{-1}[/mm]
gerade
> [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}[/mm]
Denn, nach [mm] $\alpha)$ [/mm] gilt:
(i) [m]\frac{a}{c}=a*c^{-1}[/m]
(ii) [m]\frac{b}{d}=b*d^{-1}[/m]
(iii) [m]\frac{ad+bc}{cd}=(ad+bc)*(cd)^{-1}[/m]
Damit ist die Behauptung bewiesen!
> ---------------------------------------------------------------
>
> Verwendete Axiome:
>
> [mm](1)[/mm] multiplikativ inverses Element
> [mm](2)[/mm] neutrales Element der Multiplikation
> [mm](3)[/mm] Assoziativgesetz (bezüglich [mm]*[/mm])
> [mm](4)[/mm] Kommutativgesetz ( " )
> [mm](5)[/mm] Distributivgesetz
>
>
> Also das müßte es gewesen sein ? (oder)?
Ja, ich hoffe nur, dass ich da jetzt nicht auch was verbaut habe. Generell war dein Ansatz sehr gut und deine Rechnung sehr schön. Du mußt dich nur noch dran gewöhnen, das man wirklich jede Kleinigkeit begründen muss. Das ist am Anfang des Studiums auch das, was viele abschreckt. Aber lass dich nicht abschrecken, man sieht, dass du dir diese Denkweise schon etwas angewöhnt hat !
PS: Sorry, das sieht immer so aus, als wenn ich lauter Fehler suchen würde. Aber so ist das am Anfang, wenn man solche Aufgaben zu lösen hat. Dann wird wirklich jede Kleinigkeit bemängelt. Also: Lass dich nicht davon abschrecken, deine Ideen und deine Rechnungen gehen schon in die richtige Richtung!
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal!
Muß mich gerade selbst berichtigen:
> Ich glaube, ich war da vorher auch etwas "schlampig" mit
> umgegangen. Eigentlich müßte man das hier erstmal so
> schreiben:
> 1.) [mm]\Rightarrow a* c^{-1}+b* d^{-1}=\red{(}a* c^{-1}\red{)}*1+\red{(}b* d^{-1}\red{)}*1[/mm]
Ich habe mittlerweile mal nachgeguckt, und ich glaube, ich hatte doch direkt solche Klammern gesetzt. Zum Glück! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Marcel !!!
Ist ja echt der Hammer, dass das so detailiert sein muss, aber that's mathematics !
Ich werde wie gehabt, den Beweis nochmal überarbeiten und wieder hier posten.
MfG Mark
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"Weisheit ist , wenn mann weiß, dass, wenn mann nichts wüßte, mann sich Wissen aneignen sollte, um zu wissen, dass wenn mann weiß, dass, wenn mann nichts wüßte, mann sich Wissen aneignen sollte, um zu wissen,...." [Mark Hans '05]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark!
> Hallo Marcel !!!
>
> Ist ja echt der Hammer, dass das so detailiert sein muss,
> aber that's mathematics !
Ja, vielleicht kann ich dir auch mal deine schlimmsten Befürchtungen nehmen. Natürlich wirst du mit der Zeit Beweise auch wieder "lockerer" durchführen dürfen. Ich denke, der Sinn, dass das am Anfang alles so kleinlich korrigiert und gefordert wird, ist eben der, dass der Studienanfänger "einen Blick dafür bekommt", was wesentlich ist, was man benutzen darf und was man genauer erläutern sollte bzw. an welchen Stellen man vorsichtig sein sollte. In späteren Beweisen, wenn du dann mit dem reellen Zahlenkörper [mm] $\IR$ [/mm] rechnest, darfst du dann natürlich z.B. wie gewohnt so schreiben und kürzen:
[m]\frac{a*\not \!c*d}{\not \!c}=a*d[/m].
Aber aller Anfang ist schwer, und, wenn man nur die Körperaxiome zur Verfügung hat, dann ist das ja noch gar nicht so klar, dass man das machen darf (und was die Schreibweise [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] bedeutet). Später geht man einfach davon aus, dass das entweder bewiesen wurde oder dass der Student sich im Klaren ist, wie man das (ausführlich) beweist. Und vor allem:
Je länger du studierst, desto mehr Mittel wirst du ja zur Verfügung haben, um etwas zu beweisen.
Nur: Bei jedem Beweis muss man sich bei jedem Schritt im Klaren sein, dass dieser gemacht werden darf und das auch begründen können. Wenn man nur an einer Stelle "schlampt", kann der ganze Beweis in die Hose gehen. Und daher soll man von Anfang an lernen, genau hinzugucken, daher sind die Korrekteure auch anfangs (zumindest oft) so penibel!
> Ich werde wie gehabt, den Beweis nochmal überarbeiten und
> wieder hier posten.
Ja, klar . Ich kann dir nur nicht versprechen, dass ich ihn mir vor Montag angucken kann...
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 27.02.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Marcel !!!
Also bei allem Respekt, aber ist nicht eigentlich, laut Aufgabenstellung, die Menge der reellen Zahlen als Körper bezeichnet worden und mann sollte nun, ausgehend davon, mit Hilfe der in ihr erklärten Körperaxiome die Aufgabe beweisen ?
Wenn ja, brauche ich ja eigentlich nur die Körperaxiome benutzen und mir unnötigen Aufwand ersparen.
Anders wäre es, wenn die Aufgabe gelautet hätte, das mann z.B. zeigen soll, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist.Dann hätte ich nämlich jedes Axiom beweisen müssen, um die Vorraussetzungen eines Körpers zu erfüllen.
Ich sehe ein, dass man angeben muss, dass im Körper der reellen Zahlen die Multiplikation und Addition erklärt sind. Aber mann braucht nicht mehr beweisen, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist.
Ebenso sehe ich ein, dass gewisse schulübliche Schreibweisen im Vorfeld definiert werden müssen, da ja eigentlich unklar ist, wenn mann's genau nimmt, was [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] bedeutet.
Nimms mir bitte nicht übel, aber ich bin ein wenig verwirrt und bin eigentlich der Meinung, dass ich Recht habe ?!
Von daher finde ich meinen Beweis eigentlich recht gelungen.
Trotzdem bin ich für deine Unterstüzung sehr dankbar und hoffe weiterhin auf deine Hilfe zu zählen, auch während des Studiums.
Ebenfalls werde ich diesen Beweis nochmals überarbeiten, nachdem Du mir eine Antwort über mein Anliegen gepostet hast.
MfG Mark
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"Die Welt rotiert, also bin ich...."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 27.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark!
> Hallo Marcel !!!
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> Also bei allem Respekt, aber ist nicht eigentlich, laut
> Aufgabenstellung, die Menge der reellen Zahlen als Körper
> bezeichnet worden und mann sollte nun, ausgehend davon, mit
> Hilfe der in ihr erklärten Körperaxiome die Aufgabe
> beweisen ?
Ja, das kommt auch immer drauf an, wie kritisch man solche Aufgabenstellungen betrachtet. Z.B. steht hier:
Seien ... Unterräume von ... . Nur, weil das in der Aufgabe so formuliert ist, heißt das dann noch lange nicht, dass es auch tatsächlich Unterräume sind.
Daher hätte man bei deiner Aufgabe, falls es vorher noch nirgends geschehen, auch eigentlich nachzuweisen, dass [m](\IR,+,*)[/m] in der Tat ein Körper ist. Nun gut, man kann auch sagen, der Autor der Aufgabe wird sich dazu schon Gedanken gemacht haben. Und natürlich sollst du das nicht mehr nachweisen, ich wollte dich hier halt nur mal drauf aufmerksam machen, dass man alles überdenken sollte. Du darfst mir jetzt einfach glauben, dass [mm] $(\IR,+,*)$ [/mm] ein Körper ist und deinen Beweis mit den Körperaxiomen führen!
> Wenn ja, brauche ich ja eigentlich nur die Körperaxiome
> benutzen und mir unnötigen Aufwand ersparen.
Ich wollte dir jetzt nicht die Aufgabe stellen, zu beweisen, dass [m](\IR,+,*)[/m] wirklich ein Körper ist. Falls ich das suggeriert habe: ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
> Anders wäre es, wenn die Aufgabe gelautet hätte, das mann
> z.B. zeigen soll, dass [mm]\IR[/mm] ein Körper ist.Dann hätte ich
> nämlich jedes Axiom beweisen müssen, um die
> Vorraussetzungen eines Körpers zu erfüllen.
Dann wäre es in der Aufgabe explizit verlangt gewesen. Ich hoffe, du verstehst, was ich dir sagen will:
Wenn ich z.B. schreiben würde:
"Sei [m](\IZ,+,*)[/m] (wobei $+$ die übliche Addition und $*$ die übliche Multiplikation sei) der Körper mit ... . Zeigen Sie mittels Körperaxiomen, dass dann ... gilt.", dann wäre die Aufgabe schon fehlerhaft, weil nun mal [mm] $(\IZ,+,*)$ [/mm] eben kein Körper ist. Aber wie gesagt: Glaube mir einfach, dass [mm] $(\IR,+,*)$ [/mm] ein Körper ist und benutze bei deinem Beweis nur die Körperaxiome!
> Ich sehe ein, dass man angeben muss, dass im Körper der
> reellen Zahlen die Multiplikation und Addition erklärt
> sind.
Müßte man eigentlich, aber wenn man z.B. von [mm] $\IR$ [/mm] spricht, dann ist klar, dass man [mm] $\IR$, [/mm] mit der üblichen Addtion $+$ und Multiplikation $*$ versehen, meint.
> Aber mann braucht nicht mehr beweisen, dass [mm]\IR[/mm] ein
> Körper ist.
Wie gesagt, ich wollte nicht, dass du dich daran versuchst...
> Ebenso sehe ich ein, dass gewisse schulübliche
> Schreibweisen im Vorfeld definiert werden müssen, da ja
> eigentlich unklar ist, wenn mann's genau nimmt, was
> [mm]\frac{a}{b}[/mm] bedeutet.
>
> Nimms mir bitte nicht übel, aber ich bin ein wenig verwirrt
> und bin eigentlich der Meinung, dass ich Recht habe ?!
> Von daher finde ich meinen Beweis eigentlich recht
> gelungen.
Dein letzter Beweis hat, und darauf habe ich versucht, hinzuweisen, eine unklare Stelle, und zwar hier:
> Da $ (1) $ gilt
> $ [mm] \Rightarrow a\cdot{} c^{-1}+b\cdot{} d^{-1}=a\cdot{} c^{-1}\cdot{}(d\cdot{}d^{-1})+b\cdot{}d^{-1}\cdot{}(c\cdot{}c^{-1}) [/mm] $
> $ [mm] \cdot{} [/mm] $ $ [mm] \forall a,b,c\in \IR [/mm] $ gilt: $ a(bc)=(ab)c $ $ (3) $
> $ [mm] \Rightarrow a\cdot{} c^{-1}+b\cdot{} d^{-1}=(a\cdot{} c^{-1}\cdot{}d\cdot{}d^{-1})+(b\cdot{}d^{-1}\cdot{}c\cdot{}c^{-1}) [/mm] $
Man kann jetzt sagen: Wegen des Assoziativgesetzes bzgl. $*$ kümmer ich mich gar nicht mehr um Klammern und lasse sie ganz weg. Aber wenn man das ganze genau nimmt, muss es nun mal so da stehen:
[m]a\cdot{} c^{-1}+b\cdot{} d^{-1}=(a\cdot{} c^{-1})\cdot{}(d\cdot{}d^{-1})+(b\cdot{}d^{-1})(\cdot{}c\cdot{}c^{-1})[/m].
Denn du willst ja (denke ich) z.B. diese Gleichheit benutzen:
[m]ac^{-1}=(ac^{-1})*1[/m]. Wenn du schreibst:
[m]ac^{-1}=ac^{-1}*1[/m], dann ist unklar, ob du mit [m]ac^{-1}*1[/m] jetzt [m](ac^{-1})*1[/m] meinst oder [m]a(c^{-1}*1)[/m]. Jetzt kannst du natürlich sagen, wegen des Assoziativgesetzes ist das aber auch egal, was du meinst, dann sage ich auch: , aber dann hättest du halt irgendwo erwähnen sollen, dass man wegen das Assoziativgesetzes halt $(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c$ hat, wobei, wie gesagt, streng genommen $a*b*c$ "zweideutig" definiert sein könnte (Überlege dir einfach mal:
Was wäre denn, wenn [mm] $(a*b)*c\not=a*(b*c)$ [/mm] wäre? Wie wäre dann $a*b*c$ zu verstehen? Dann müßten wir uns darauf einigen, ob wir sagen:
$a*b*c:=(a*b)*c$, oder aber $a*b*c:=a*(b*c)$).
Dass dieser Ausdruck $a*b*c$ keine Probleme bereitet, liegt halt am Assoziativgesetz! Okay, mit dieser Ergänzung ist dein Beweis dann auch vollkommen in Ordnung, ich würde dir aber trotzdem mal empfehlen, meinen Einschub an dieser Stelle durchzugehen. Einfach nur, damit man ein besseres Gespür dafür bekommt, wie man eigentlich vorgehen müßte, wenn man ganz sorgfältig auf die Klammersetzung achtet!
> Trotzdem bin ich für deine Unterstüzung sehr dankbar und
> hoffe weiterhin auf deine Hilfe zu zählen, auch während des
> Studiums.
Ja, klar. Sofern ich deine Fragen beantworten kann . Das ist ja meist von Frage zu Frage unterschiedlich . Und ich nehme dir doch nichts übel (ich wüßte auch gar nicht, was ich dir übelnehmen sollte ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ?)!
> Ebenfalls werde ich diesen Beweis nochmals überarbeiten,
> nachdem Du mir eine Antwort über mein Anliegen gepostet
> hast.
Wie gesagt, mit der Ergänzung:
$a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)$ und dass man daher die Klammern beim Produkt einfach weglassen kann, kannst du deinen Beweis auch so stehenlassen. Aber beachte bitte, dass das schon ein (meiner Meinung nach erwähnenswerter) Punkt ist, den man zu beachten hat!
PS: , falls ich dich verwirrt habe. Ich bin, das weiß ich selber, bei vielen Dingen sehr, sehr penibel. Andererseits habe ich deswegen aber auch mal entdeckt, dass man eine Übungsaufgabe gar nicht so lösen konnte, wie vom Übungsleiter vorgeschlagen, weil er nämlich bei seinem Lösungsweg vergessen hatte, einen Punkt zu prüfen. Ich habe das aber geprüft und festgestellt, dass die Voraussetzung gar nicht gegeben ist und daher die Musterlösung zu der Übungsaufgabe auch falsch war und man einen (komplett) anderen Weg gehen musste, um die Aussage zu beweisen!
PPS: Hier bin ich allerdings immer noch der Meinung:
> -----------------------------------------------------
> Es gilt nun zu zeigen, dass $ [mm] c^{-1}\cdot{}d^{-1}=(c\cdot{}d)^{-1} [/mm] $:
> $ [mm] c^{-1}\cdot{}d^{-1}=(c\cdot{}d)^{-1} [/mm] $ $ [mm] |\cdot{}cd [/mm] $
> $ [mm] c^{-1}\cdot{}d^{-1}\cdot{}cd=(c\cdot{}d)^{-1}\cdot{}cd [/mm] $
> Wegen (4) folgt
> $ [mm] c^{-1}\cdot{}c\cdot{}d^{-1}\cdot{}d=(c\cdot{}d)^{-1}\cdot{}cd [/mm] $
> mithin (1)
> $ [mm] 1\cdot{}1=(c\cdot{}d)^{-1}\cdot{}cd [/mm] $
> Wegen Eindeutigkeit des inversen Elements in $ [mm] \IR\backslash\{0\} [/mm] $ gilt
> $ [mm] c^{-1}\cdot{}d^{-1}=(c\cdot{}d)^{-1} [/mm] $
> ----------------------------------------------------
dass der Beweis anders geführt werden sollte oder dass du Äquivalenzzeichen benutzen solltest. Denn so, wie es da steht, steht da:
Behauptung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] wahre Aussage!
Du brauchst aber die Richtung:
Aus einer wahren Aussage folgt die Behauptung (also: wahre Aussage [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Behauptung). Denn sowas hier:
Behauptung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] wahre Aussage
ist kein Beweis der Behauptung!
Also: Entweder Äquivalenzzeichen (und immer prüfen, ob die Folgerungen in beide Richtungen stimmen), oder aber du fängst bei deinem obigen Beweis sozusagen "unten" an und folgerst nach oben, so dass am Ende der Folgerungskette dann als Resultat:
$ [mm] c^{-1}\cdot{}d^{-1}=(c\cdot{}d)^{-1}$ [/mm] steht!
Oder du beweist dies so, wie ich es dir hier vorgeschlagen habe...
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 03.03.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallöchen !!!
Sorry, aber die Antwort, bzw. Frage, hat diesmal etwas gedauert.Hatte ein bischen zu tun, wegen Bafög, Studiausweis, etc...
Nun habe ich aber wieder ein wenig Zeit.
Also:
Es ist somit vorerst anzugeben, das in einem Körper (hier [mm] $\IR$) [/mm] die Verknüpfungen $*$ und $+$ erklärt sind, oder ?
Dann könnte ich doch fortfahren mit der Angabe sämtlicher, dem Körper angehörige Axiome.
Danach folgt dann Aufgrund der Axiome, das Beweisverfahren inclusive aller Definitionen von Schreibweisen, die zwar Schultypisch sind aber eben nicht definiert (so wie [mm] $\frac{a}{b}$).
[/mm]
Und fertig sei der Beweis ! ???
Meine Aufzeichnung hier soll eine Art geistiger Algorithmus sein, um den Beweis dann nocheinmal vorzunehmen.
Hey, sorry nochmal wegen der Verzögerung, aber du verstehst sicherlich den Studiumeinstiegstrara...
P.S. Ich habe im Internet eine Diplomarbeit gelesen. Mann total heftig, hab irgendwie Angst, das nie so hinzubekommen.Wie verändert sich denn das mathematische Denken ? Wird man denn wenigstens ein wenig daraufhin geschult, oder bleibt man bei ungenügendem Eigenstudium hängen ?
Würde mich mal interessieren.
Danke schon mal
Mark
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"Wasser ist flüssig, fest und gasförmig, doch die Zustände die ein Mensch haben kann sind noch nicht alle definiert..." [Chemielehrer '03]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mark!
> Hallöchen !!!
>
> Sorry, aber die Antwort, bzw. Frage, hat diesmal etwas
> gedauert.Hatte ein bischen zu tun, wegen Bafög,
> Studiausweis, etc...
> Nun habe ich aber wieder ein wenig Zeit.
>
> Also:
>
> Es ist somit vorerst anzugeben, das in einem Körper (hier
> [mm]\IR[/mm]) die Verknüpfungen [mm]*[/mm] und [mm]+[/mm] erklärt sind, oder ?
Eigentlich gehört das schon zu der Definition eines  Körpers, denn dort spricht man ja schon Verknüpfungen. Nun ja, [mm] $(\IR,+,*)$ [/mm] ist nun mal ein Körper, wobei $*$ die gewöhnliche Multiplikation und $+$ die gewöhnliche Addition ist...
> Dann könnte ich doch fortfahren mit der Angabe sämtlicher,
> dem Körper angehörige Axiome.
Normalerweise definiert man, was ein Körper ist (mithilfe der Körperaxiome), und wenn man dann den Beweis (im allgemeinen Körper) führt, muß man natürlich mit diesen Körperaxiomen arbeiten (bzw. bereits bewiesene Sätze zu Hilfe nehmen)...
> Danach folgt dann Aufgrund der Axiome, das Beweisverfahren
> inclusive aller Definitionen von Schreibweisen, die zwar
> Schultypisch sind aber eben nicht definiert (so wie
> [mm]\frac{a}{b}[/mm]).
Jein. Üblicherweise hätte man entweder:
1.) Im Allgemeinen Körper die Schreibweise [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] definieren müssen.
2.) In [mm] $\IR$ [/mm] halt [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] "erklären" müssen.
Eigentlich sollten die "typischen Schreibweisen" auch vorher (in der Vorlesung) definiert werden. Bei deiner Aufgabe war das für mich schwer zu interpretieren:
Soll ich dir jetzt erklären, was [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ist und wie man das dann in deinem Beweis zu interpretieren hat (und dann auch noch, welche Rechenregeln gelten, inwiefern du die wegen der Körperaxiome benutzen darfst etc.) oder mache ich es anders:
Ich gebe dir eine "Definition" von [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] (und gebe dir damit dann heimlich eigentlich auch die Aufgabe, die Behauptung in jedem Körper nachzurechnen ). Ich habe mich für letzteres entschieden, weil ich es so für sinnvoller gehalten habe (weil du in deinem Beweis ja nur die Körperaxiome benutzen solltest), und weil du dadurch auch, denke und hoffe ich zumindest, einen besseren Blick dafür bekommst, wo genau denn die Körperaxiome bei deinem Beweis eingehen/eingegangen sind...
> Und fertig sei der Beweis ! ???
>
> Meine Aufzeichnung hier soll eine Art geistiger Algorithmus
> sein, um den Beweis dann nocheinmal vorzunehmen.
> Hey, sorry nochmal wegen der Verzögerung, aber du verstehst
> sicherlich den Studiumeinstiegstrara...
Klar, kein Thema!
>
> P.S. Ich habe im Internet eine Diplomarbeit gelesen. Mann
> total heftig, hab irgendwie Angst, das nie so
> hinzubekommen.Wie verändert sich denn das mathematische
> Denken ? Wird man denn wenigstens ein wenig daraufhin
> geschult, oder bleibt man bei ungenügendem Eigenstudium
> hängen ?
Man wird natürlich daraufhin geschult, aber deine Aufgabe besteht dann zunächst mal darin, die Vorlesungen nachzuvollziehen und Übungsaufgaben zu bearbeiten. Allein schon anhand der Übungen wirst du (wenn du einen sorgfältigen Korrekteur hast und dir die Korrekturen genau anguckst) auch selber lernen, was du denn falsch machst bzw. wo du zu schnell schließt...
Und klar: Diplomarbeiten sind teilweise schon heftig, wenn ich ne Diplomarbeit in Stochastik sehen würde, dann würde ich auch sehr wenig kapieren. Du wirst ja auch selber nachher irgendwann merken, in welchem Bereich du dir ne Diplomarbeit zutraust und wo eher nicht und während des Studiums, in welche Richtung du dich orientieren willst...
PS: Falls du willst, guck dir z.B. einfach mal Kapitel 3 des folgenden Analysis-Skriptes an, welches du ![[]](/images/popup.gif) hier [mm] ($\leftarrow$ click it!) findest.
Ich denke, dann verstehst du auch, warum ich $\frac{a}{b}$ lieber definiert (gesehen) habe und bekommst auch einen kleinen Einblick, wie die Beweise in etwa (ab)laufen...
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Do 24.03.2005 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Marcel !!!
Hat ziemlich lange gedauert mit meiner Antwort,bzw. dass ich mich erst jetzt überhaupt gemeldet habe.
Befinde mich zur Zeit im Einführungskurs Mathematik an der Uni und habe damit einfach gut zu tun.
Werde aber bei Gelegenheit weitermachen.
Hoffe du bist nicht Böse.
MfG Mark
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