Beweisdel ' Hospital für oo/oo < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 21.04.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Hier mal der Beweis:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})} [/mm] =(MWS) [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f'(x_{0}+c(x-x_{0})}{g'(x_{0}+c(x-x_{0})} [/mm] =(wenn f',g' stetig) = [mm] \bruch{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}
[/mm]
Vorraussetzung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a^{+}} \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] =K
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a^{+}} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ a^{+}} [/mm] g(x) = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta: |\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] -K| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,a+ [mm] \delta) [/mm]
[mm] MWS[x,x_{0}] |\bruch{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}| [/mm] = [mm] \bruch{f'(c)}{g'(c)} [/mm] => [mm] |\bruch{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})} [/mm] - K| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Verwende: [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] - K =
(*)
[mm] \bruch{f(x_{0})-K*g(x_{0})}{g(x)} [/mm] + (1- [mm] \bruch{g(x_{0})}{g(x)})*( \bruch{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})} [/mm] - K)
x [mm] \to a^{+} [/mm] wähle [mm] \delta_{1} [/mm] < [mm] \delta, [/mm] sodass (*) < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] =>|\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] - K| [mm] \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
=> [mm] \limes_{x\rightarrow\ a^{+}} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] =K
okay nun verstehe ich aber nicht warum folgende gleichheit gilt:
[mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] - K =
[mm] \bruch{f(x_{0})-K*g(x_{0})}{g(x)} [/mm] + (1- [mm] \bruch{g(x_{0})}{g(x)})*( \bruch{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})} [/mm] - K)
kann mir jemand die rechenschritte anschreiben? die wurden bei uns leider nur sehr grob behandelt...
lg
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> [m> okay nun verstehe ich aber nicht warum folgende gleichheit
> gilt:
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] - K =
> [mm]\bruch{f(x_{0})-K*g(x_{0})}{g(x)}\ +\ (1- \bruch{g(x_{0})}{g(x)})*( \bruch{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}- K)[/mm]
>
> kann mir jemand die rechenschritte anschreiben? die wurden
> bei uns leider nur sehr grob behandelt...
Hallo nero08,
diese Umformung kann man einfach durch Nachrechnen
verifizieren. Starte also mit dem Term der rechten
Seite und vereinfache ihn.
Ich habe das auch getan und zur Vereinfachung die
Bezeichnungen
$\ f:=f(x)$
$\ g:=g(x)$
$\ [mm] f_0:=f(x_0)$
[/mm]
$\ [mm] g_0:=g(x_0)$
[/mm]
verwendet. Das macht die Rechnung übersichtlich.
Natürlich muss man $\ [mm] g\not=0$ [/mm] und $\ [mm] g\not= g_0$ [/mm] voraussetzen.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 21.04.2013 | | Autor: | nero08 |
besten dank!
es stellt sich als einfacher heraus von rechts zu starten! :)
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> besten dank!
>
> es stellt sich als einfacher heraus von rechts zu starten!
> :)
Ja. Aber bei derartigen Umformungen innerhalb eines
Beweises stellt sich doch oft auch die Frage: wie kommt
man darauf, gerade die und die Umformungen zu machen
bzw. "Tricks" anzuwenden ?
Wie viele Studenten haben doch schon hilflos gestöhnt:
"darauf wäre ich niiiie gekommen !"
In einer gut gehaltenen Vorlesung sollte der Dozent
an solchen Stellen wenigstens nützliche Hinweise
geben, wie man da auch selber weiter kommen kann.
LG , Al-Chw.
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