Beweis zur Teilerfremdheit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 19.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] (mit der 0) sei [mm] F_{n} [/mm] := [mm] 2^{2^{n}} [/mm] +1.
a) Zeige durch vollständige Induktion, dass für n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] F_{0} [/mm] * [mm] F_{1} [/mm] *...* [mm] F_{n} [/mm] = [mm] F_{n+1} [/mm] - 2.
b) Zeige , dass [mm] F_{m} [/mm] und [mm] F_{n} [/mm] für m [mm] \not= [/mm] n teilerfremd sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Also die a) habe ich selber gelöst und sie hat relativ schnell funktioniert. Mein Problem ist die b). Ich habe hin und her überlegt und weiß einfach nicht, wie ich es anfangen soll. Soll ich einen indirekten Beweis machen (also zeigen, dass wenn m = n wäre, dann die beiden nicht teilerfremd sind???? Und wenn ja ,wie???) oder einen direkten Beweis?
Teilerfremdheit bedeutet ja auch nichts anderes als dass der ggT=1 ist. Aber wie zeige ich das bei unterschiedlichen Variablen? Ich weiß nicht weiter, bitte helft mir!
Danke im Voraus!
lenzlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 19.10.2010 | | Autor: | statler |
> Für n [mm]\in \IN[/mm] (mit der 0) sei [mm]F_{n}[/mm] := [mm]2^{2^{n}}[/mm] +1.
> a) Zeige durch vollständige Induktion, dass für n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt
> [mm]F_{0}[/mm] * [mm]F_{1}[/mm] *...* [mm]F_{n}[/mm] = [mm]F_{n+1}[/mm] - 2.
> b) Zeige , dass [mm]F_{m}[/mm] und [mm]F_{n}[/mm] für m [mm]\not=[/mm] n teilerfremd
> sind.
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also die a) habe ich selber gelöst und sie hat relativ
> schnell funktioniert. Mein Problem ist die b). Ich habe hin
> und her überlegt und weiß einfach nicht, wie ich es
> anfangen soll. Soll ich einen indirekten Beweis machen
> (also zeigen, dass wenn m = n wäre, dann die beiden nicht
> teilerfremd sind???? Und wenn ja ,wie???) oder einen
> direkten Beweis?
Bei m = n sind sie ja gleich, dann sind sie natürlich nicht teilerfremd. Aber daraus folgt doch nicht die Beh.
> Teilerfremdheit bedeutet ja auch nichts anderes als dass
> der ggT=1 ist. Aber wie zeige ich das bei unterschiedlichen
> Variablen? Ich weiß nicht weiter, bitte helft mir!
Weißt du etwas vom Euklid. Algorithmus? Wie man den ggT als Linearkombination darstellt?
Wenn z. B. oBdA m < n ist, dann steht in a) eine Gl. 2 = [mm] F_n [/mm] - [mm] aF_m. [/mm] Also ist der ggT 1 oder 2. Warum nicht 2?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mi 20.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
wow ok auf die a) hätte ich mich jetzt gar nicht mehr bezogen! wir haben einen algorithmus angewendet um den gemeinsamen teiler herauszufinden (a=qm+r wobei q und r ganze Zahlen sind) aber wenn ich den versuche komme ich iwie nich weiter.
also soll ich deiner meinung nach eine fallunterscheidung machen? oder ist es mit der annahme o.B.d.A. m < n schon bewiesen. die formel leuchtet mir ein...aber warum jetzt auch 2 einn ggT sein könnte nicht!
vielen dank für deine schnelle antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> also soll ich deiner meinung nach eine fallunterscheidung
> machen? oder ist es mit der annahme o.B.d.A. m < n schon
> bewiesen. die formel leuchtet mir ein...aber warum jetzt
> auch 2 einn ggT sein könnte nicht!
Wenn n und m verschieden sein sollen, dann ist eins größer und das andere kleiner, wir nehmen an, daß m die kleinere Zahl ist, sonst taufen wir die Zahlen um, also ist das keine Fallunterscheidung, sondern faßt beide möglichen Fälle in einem zusammen.
Nun steht da eine Formel (2 = [mm] $F_n$ [/mm] - [mm] a$F_m$), [/mm] die dir einleuchtet, das ist schön. Jeder gemeinsame Teiler von [mm] F_n [/mm] und [mm] F_m [/mm] teilt die rechte Seite, also auch die linke Seite. Die ist 2, und 2 hat nur die beiden positiven Teiler 1 und 2. Aber die [mm] $F_i$'s [/mm] sind alles ungerade Zahlen, also nicht durch 2 teilbar, also ist 2 kein gemeinsamer Teiler und damit erst recht nicht der größte gemeinsame Teiler.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> vielen dank für deine schnelle antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 20.10.2010 | | Autor: | lenzlein |
dankeschön!
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