Beweis zur "Einheit" < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | Man sagt: [mm] \alpha|\beta\gdw\exists\gamma \in [/mm] I(d) mit [mm] \beta=\alpha*\gamma [/mm] , [mm] I(d):=\{a+b*\wurzel{d} |a,b \in \IZ\}
[/mm]
Weiter heißt [mm] \varepsilon \in [/mm] I(d) Einhweit, wenn [mm] \varepsilon|1
[/mm]
Zeige, dass [mm] \varepsilon [/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn [mm] N(\varepsilon)=\pm1 [/mm] mit [mm] N(\varepsilon)=a^2-db^2 [/mm] |
Bei der Aufgabe scheint es einen Widerspruch zu geben:
Wähle [mm] \varepsilon:=5-4*sqrt(1) [/mm] element von I(d)
[mm] N(\varepsilon) [/mm] wäre dann 25-16=9 also nicht 1! Aber es gilt 5-4*sqrt(1)=1 teilt 1. Das ist ein Widerspruch zu der Aussage... Mein Übungsleiter meinte, dass ich mir die Aufgabe nochmal genau durchlesen soll. Hat jemand einen Hinweis, wie ich die Aufgabe angehen kann und wo mein Denkfehler ist?
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> Man sagt: [mm]\alpha|\beta\gdw\exists\gamma \in[/mm] I(d) mit
> [mm]\beta=\alpha*\gamma[/mm] , [mm]I(d):=\{a+b*\wurzel{d} |a,b \in \IZ\}[/mm]
>
> Weiter heißt [mm]\varepsilon \in[/mm] I(d) Einhweit, wenn
> [mm]\varepsilon|1[/mm]
> Zeige, dass [mm]\varepsilon[/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn
> [mm]N(\varepsilon)=\pm1[/mm] mit [mm]N(\varepsilon)=a^2-db^2[/mm]
> Bei der Aufgabe scheint es einen Widerspruch zu geben:
> Wähle d:=5-4*sqrt(1) element von I(d)
Also [mm]\blue{d:=5-4*\sqrt{1}}[/mm]. Dann [mm]I(\blue{d})=I(\blue{5-4*\sqrt{1}})=\{a+b*\wurzel{\blue{5-4*\sqrt{1}}} |a,b \in \IZ\}[/mm]
Was nun?
> N(d) wäre dann 25-16=9 also nicht 1! Aber es gilt
Wie kommst du bei N(d) auf 9?
[mm]N(d)=N(\green{0}+\blue{1}*\sqrt{5-4*\sqrt{1}})=\green{0}^2+\blue{1}^2=1[/mm]
Dein Denkfehler ist die Mengendarstellung von I(d).
> 5-4*sqrt(1)=1 teilt 1. Das ist ein Widerspruch zu der
> Aussage... Mein Übungsleiter meinte, dass ich mir die
> Aufgabe nochmal genau durchlesen soll. Hat jemand einen
> Hinweis, wie ich die Aufgabe angehen kann und wo mein
> Denkfehler ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
Das stimmt doch nicht, was du geschrieben hast... man setzt doch das ganze [mm] \varepsilon [/mm] ein ... Schau doch nochmal die Defintion an:
[mm] N(\varepsilon)=a^2-d*b^2 [/mm] mit [mm] \varepsilon \in [/mm] I(d) . Somit ist mein Widerspruch immer noch vorhanden, wenn [mm] \varepsilon=5-4*sqrt(1)...
[/mm]
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Haha! jetzt deinen Artikel nachträglich korrigieren. Das stand da:
> Wähle d:=5-4*sqrt(1) element von I(d)
> Das stimmt doch nicht, was du geschrieben hast... man setzt
Jetzt steht auch etwas anderes da. ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") Da muss man bei dir ja aufpassen!
> doch das ganze [mm]\varepsilon[/mm] ein ... Schau doch nochmal die
Wenn dein d=1 ist, dann hast du
[mm]I(1)=\{a+b| \; a,b\in \IZ\}[/mm]
> Defintion an:
> [mm]N(\varepsilon)=a^2-d*b^2[/mm] mit [mm]\varepsilon \in[/mm] I(d) . Somit
[mm]\epsilon = 5-4\sqrt{1}=1=1-0*\sqrt{1}[/mm]. Dann passt es. Du musst ja auch kürzen.
> ist mein Widerspruch immer noch vorhanden, wenn
Sonst gibt es ja noch andere Gegenbeispiele I(4):
[mm] $N(3+2\sqrt{4})=3^2-\sqrt{4}*2^2=9-2*2*2=1$"
[/mm]
und [mm] $3+2\sqrt{4}=3+2*2=7$ [/mm] teilt nicht 1.
aber auch [mm] $N(3+2\sqrt{4})=N(7)=49$. [/mm] Also kürzen.
Denn [mm] $\{a+b\sqrt{d}\;\; | a,b\in \IZ\}=\{ c\in \IZ\}$ [/mm] für c ist Quadratzahl.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
ok, vielen dank!!! man muss also vorher immer kürzen. hat denn jemand einen tipp, wie ich den beweis angehen kann?
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Dann passt das.
Du nimmst dir ein Element [mm]z:=a+b\sqrt{d}\in I(d)[/mm]
<=
[mm]N(z)=1\;[/mm] z.z. [mm]\exists y : zy=1[/mm] Was ist [mm]N(z)[/mm]? binomische Formel?
=>
Sei z eine Einheit, nach deiner Def. [mm]\exists y:yz=1[/mm]. z.z. [mm]N(z)=1[/mm]. Wie muss y aussehen? Was bedeutet das für die Norm?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Do 05.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
Danke, ich hab's verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
Ich hänge immer noch daran zu zeigen, dass aus z|1 folgt, dass [mm] N(a)=\pm1 [/mm] ist. [mm] \exists [/mm] ein y:z*y=1 und y muss die form 1/z haben. aber wie kann ich nun darauf schließen, dass [mm] N(z)=\pm1 [/mm] ist?
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Man kann es auch ganz allgemein machen.
Sei z eine Einheit, d.h. es gibt y mit zy=1. Die Norm ist ein Homomorphismus => 1=N(1)=N(zy)=N(z)*N(y). Die Norm ist eine ganze Zahl [mm] $\in \IZ$. [/mm] Ergo N(z)=+1 oder -1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Do 05.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
sry, ausversehen zwei mal die frage gestelltt ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 05.05.2011 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | Zeige, dass sämtliche Einheiten von I(2) von der Form [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \pm(1+\wurzel{2})^n [/mm] sind.
Hinweis:
Führe den Beweis wie folgt: Es sei [mm] \varepsilon [/mm] = x + y*wurzel{2} mit x,y > 0, x kleinstmöglich und [mm] \varepsilon [/mm] habe
nicht die geforderte Form. Bestimme [mm] \varepsilon(\wurzel{2}-1) [/mm] und betrache [mm] N(\varepsilon).
[/mm]
Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie bei der anderen Aufgabe, d.h. [mm] I(d):=\{a+b*\wurzel{2} | a,b \in \IZ \} [/mm] mit d [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] N(\varepsilon)=a^2-d*b^2 [/mm] |
Meine Idee wäre eine Induktion nach zwei Variablen gewesen. Allerdings komme ich da auf keinen nenner, denn ich müsste zeigen, dass für alle (a+1) + [mm] b*\wurzel{2} [/mm] ein n [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass
(a+1) + [mm] b*\wurzel{2} [/mm] = [mm] (\wurzel{2}+1)^n. [/mm] (Sehe ich das richtig?) Allerdings habe ich dann die IH + 1 stehen und weiß nicht, wie ich weitermachen soll...
Geht das überhaupt mit Induktion bzw. wie könnte man den Beweis noch angehen?
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Auch hier hilft dir die Homomorphie-Eigenschaft weiter.
Sei I(2) der Ring, wie oben angegeben und die Norm auch wie oben.
nach Aufgabe 1 ist z eine Einheit <=> [mm] $N(z)=\pm [/mm] 1$
Sei [mm] $x+y\sqrt{2}\in [/mm] I(2)$. Dann ist [mm] $\pm 1=N(x+y\sqrt{2})=x^2-2y^2$. [/mm] Was heißt das für [mm] $x,y\in \IZ$. [/mm] Welche Lösungen gibt es hier?
Damit ist [mm] $\pm(1+1*\sqrt{2})=: \epsilon$ [/mm] eine Einheit. Wegen "Norm ist Homomorphismus" gilt:
[mm] $N(\epsilon^k)=N(\epsilon)^k=(\pm 1)^k$ [/mm] für [mm] $k\in \IN$ [/mm] => Behauptung.
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