Beweis zu endlichen Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich würde ein wenige Hilfe zu folgendem Beweis benötigen.
Zeigen Sie: [mm] \left| \{ A \subseteq \IN \right| A ist endlich \} = \left| \IN \right| [/mm].
Ich hätte mir folgendes überlegt: A ist nicht die leere Menge, ich wähle mir aus A ein Element [mm] a_{1}. [/mm] Offensichtlich ist A [mm] \not= a_{1}. [/mm] Also wähle ich mir ein [mm] a_{2} [/mm] aus A ohne [mm] {a_{1}} [/mm] und konstruiere mir somit eine abzählbare Menge A (Auswahlaxiom). Nun stecke ich fest. Bin ich auf dem richtigen Weg, oder liege ich damit völlig falsch?
Danke im Voraus,
Christian.
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Hallo MrElgusive!
Deine Frage läßt sich auf die Frage zurückführen, ob die Menge N [mm] \times [/mm] N abzählbar ist. Das geht so.
Für die Menge der endlichen Teilmengen von N, nennen wir sie E gilt offensichtlich
[mm] E=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}
[/mm]
Dabei ist [mm] E_{n} [/mm] die Menge der n-elementigen Teilmengen von N.
Jedes [mm] E_{n} [/mm] ist eine abzählbare Menge. Das bedeuteutet, E ist eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen. Als solche ist E ebenfalls abzählbar. Und diese letzte Behauptung ist eben äquivalent zur Abzählbarkeit von N [mm] \times [/mm] N.
Das geht so: Sei für jedes n [mm] \in [/mm] N [mm] F_{n} [/mm] = [mm] \{f_{m,n} | m \in N \} [/mm] und sei
F:= [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} f_{n}.
[/mm]
Dann entspricht F der Menge N [mm] \times [/mm] N und [mm] F_{n} [/mm] entspricht einer Zeile [mm] \{n\} \times [/mm] N.
Jetzt brauchen wir noch eine Bijektion von N [mm] \times [/mm] N nach N.
Diese sieht so aus: f(m,n)= [mm] \bruch{1}{2}(m+n)(m+m+1)+m [/mm] (Cantor'sche Paarungsfunktion)
N [mm] \times [/mm] N wird so diagonal abgezählt. (ohne Beweis,leicht)
Was jetzt noch offen ist, ist der Nachweis, daß die Mengen [mm] E_{n} [/mm] tatsächlich abzählbar sind. Hier kommt wieder das obige Resultat zur Anwendung. Es gilt
[mm] E_{n}= \bigcup_{k=0}^{\infty} E_{n,k}
[/mm]
Dabei ist [mm] E_{n,k} [/mm] die Menge der n-elementigen Teilmengen von N, deren größtes Element k ist. Da aber [mm] \{0, 1, ... , k\} [/mm] eine endliche Menge ist haben wir es hier mit einer abzählbaren Vereinigung von endlichen Mengen zu tun. So eine Vereinigung ist natürlich erst recht abzählbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Sa 08.01.2005 | | Autor: | MrElgusive |
Danke für deine prompte Hilfe.
Grüße,
Christian.
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