Beweis zu Restklassenkörper < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 08.03.2009 | | Autor: | Anu |
| Aufgabe | | Der Restklassenring [mm] (R_m,+,*) [/mm] ist genau dann ein Körper, wenn m eine Primzahl ist. |
Hallo zusammen,
ich habe einige Verständnisprobleme, um den oben genannten Satz zu beweisen.
Also der Restklassenring [mm] (R_m,+,*) [/mm] ist kein Integritätsbereich (da [mm] R_m [/mm] Nullteiler besitzt, wenn m eine zusammengesetzte Zahl ist) => [mm] (R_m,+,*) [/mm] ist somit auch kein Körper!
Jetzt weiß ich aber nicht,wie ich beweisen soll, dass m eine Primzahl und der Restklassenring somit ein Körper ist.
Würde es genügen, zu zeigen, dass die prime Restklasse [mm] R_m [/mm] mit m = prim nullteilerfrei ist, indem ich einfach ein Beispiel zeige???
Bin dankbar für jeden Tipp!
Grüße,
Anu
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Hallo Anu,
nein, ein Beispiel wird nicht reichen.
Aber vielleicht hilft es Dir herauszufinden, wieso ein primer Restklassenring keine Nullteiler haben kann...
Wenn Du das allgemeingültig zeigen kannst, hast Du Deinen Beweis fast fertig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 So 08.03.2009 | | Autor: | Anu |
Hey Reverend,
also eine prime Restklasse ist ja nullteilerfrei, weil [mm] [0]_m \not\in R_m [/mm] (primen Restklasse).
Mit [mm] [a]_m \in R_m, [/mm] dann gilt ja dass der ggt(a,m)=1 ist und das kann ja nur der Fall sein, wenn m = prim ist.
Somit wäre der Beweis doch dann fertig oder???
Gruß,
Anu
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Hallo Anu,
> Hey Reverend,
>
> also eine prime Restklasse ist ja nullteilerfrei, weil
> [mm][0]_m \not\in R_m[/mm] (primen Restklasse).
>
> Mit [mm][a]_m \in R_m,[/mm] dann gilt ja dass der ggt(a,m)=1 ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und
> das kann ja nur der Fall sein, wenn m = prim ist.
Ist das so? Wenn ja, warum?
Außerdem ist doch für diese Beweisrichtung die Voraussetzung, dass $m$ prim ist, und zu zeigen ist, dass [mm] $(R_m,+,\cdot{})$ [/mm] ein Körper ist.
Der Unterschied zwischen Körper und Ring ist, dass in einem Körper jedes von Null verschiedene Element (multiplikativ) invertierbar ist
Ich würde es also so angehen:
Zeige, dass jedes [mm] $\overline{a}\neq \overline{0}$ [/mm] ein Inverses hat und nutze dabei, dass $ggt(a,m)=1$ ist, aus.
Mit dem Lemma von Bézout kannst du dann diesen ggt schreiben als
[mm] $1=a\cdot{}r+m\cdot{}s$ [/mm] mit $r,s [mm] \in\IZ$
[/mm]
Nun mache den Übergang zu den Restklassen ...
$ [mm] \overline{1}=\overline{ar}+\overline{ms}\Rightarrow\overline{1}=\overline{ar}+... [/mm] $
Was ist nun [mm] $\overline{ms}$?
[/mm]
Damit hast du's schon, wie sieht das Inverse zu [mm] $\overline{a}$ [/mm] aus?
>
> Somit wäre der Beweis doch dann fertig oder???
>
> Gruß,
> Anu
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Anu |
Aaaaalso Schachuzipus erst mal Danke dür deine Antwort =)
wenn 1 = ar + ms
<=> ms = 1 - ar
=> m|(1-ar)
=> ar [mm] \equiv [/mm] 1 mod m
=> [mm] [a]_m [/mm] * [mm] [r]_m [/mm] = [mm] [1]_m
[/mm]
=> sorry aber jetzt komm ich nicht weiter... :-S
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Hallo nochmal,
> Aaaaalso Schachuzipus erst mal Danke dür deine Antwort =)
>
>
> wenn 1 = ar + ms
>
> <=> ms = 1 - ar
>
> => m|(1-ar)
>
> => ar [mm]\equiv[/mm] 1 mod m
>
> => [mm][a]_m[/mm] * [mm][r]_m[/mm] = [mm][1]_m[/mm]
Ja, was steht denn hier in dieser Zeile??
Du hast es doch schon ...
Das Inverse zu [mm] $\overline{a}$ [/mm] ist also [mm] $\overline{r}$
[/mm]
Da [mm] $\overline{a}\neq\overline{0}$ [/mm] beliebig gewählt war, ex. also zu jedem von [mm] $\overline{0}$ [/mm] verschiedenen Element aus [mm] $R_m$ [/mm] ein Inverses, was zu zeigen war ...
>
> => sorry aber jetzt komm ich nicht weiter... :-S
Wenn du fertig bist, musst du auch nicht weiterkommen 
PS: ich hätte weiter gemacht mit [mm] $\overline{ms}=\overline{0}$, [/mm] also [mm] $\overline{1}=\overline{ar}=\overline{a}\cdot{}\overline{r}$, [/mm] was aber genau zu deiner Folgerung führt ..
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Anu |
Hey super ich dank dir vielmals! =)
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