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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton fallende Folge mit [mm] a_{n} \ge [/mm] 0. Man beweise:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow na_{n} \to [/mm] 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich muss folgende Aufgabe bearbeiten und uns wurde auch schon der Tipp gegeben, dass wir mit Cauchy arbeiten sollen (da das die schwierigste Aufgabe auf dem Aufgabenzettel ist).
Da jede konvergente Folge reeller Zahlen eine Cauchy-Folge ist, muss gelten:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN, [/mm] so dass
| [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \ge [/mm] N.
Das weiß ich jetzt aber wie hilft mir das weiter? Kann mir jemand einen Ansatz geben und beschreiben, wie ich was zeigen soll?
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Stell Dir vor, [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen [mm] A\not=0
[/mm]
Was hieße das für [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] ?
Es reicht schon, das zu beweisen, aber der Weg für [mm] na_n [/mm] aus der Aufgabenstellung ist nicht so weit entfernt.
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Es existiert zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass
| [mm] a_{n} [/mm] - a | < [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
Für alle n, m [mm] \ge [/mm] N gilt dann
| [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m} [/mm] | = | [mm] (a_{n} [/mm] - a) - [mm] (a_{m} [/mm] - a) | [mm] \le [/mm] | [mm] a_{n} [/mm] - a | + | [mm] a_{m} [/mm] - a | < [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
Meinst du das? Und was stelle ich damit jetzt an? Wie komme ich auf die rechte Seite der Implikation?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wende das Cauchy kriterium auf die Summen [mm] S_n=\summe_{i=1}^{n}a_i
[/mm]
an [mm] |S_n-S_{2n}|<\epsilon
[/mm]
-
[mm] |S_n-S_{2n}|=\summe_{i=n}^{2n}a_i [/mm]
[mm] n*a_n>\summe_{i=n}^{2n}a_i>n*a_{2n}
[/mm]
damit und nem geeigneten [mm] \epsilon [/mm] muss man hinkommen.
Gruss leduart
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Mit dem Thema komme ich wirklich gar nicht zurecht und ich verstehe deinen Beitrag nicht. Kann mir das jemand noch fundamentaler erklären? ^^
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Sei i<j, dann gilt [mm] a_{i} \ge a_{j} \ge [/mm] 0, da die Folge monoton fallend mit nicht-negativen Folgengliedern ist.
Damit gilt: [mm] \summe_{i=n}^{2n-1} a_{i} \ge \summe_{i=n}^{2n-1} a_{n} [/mm] = (2n-1 - n + 1) * [mm] a_{n} [/mm] = n * [mm] a_{n} \ge [/mm] 0
Es gilt nach Vorlesung: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} [/mm] konvergent [mm] \gdw [/mm] S(n) mit S(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] konvergent [mm] \gdw [/mm] S(n) Cauchyfolge, also insbesondere |S(2n-1) - S(n-1)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn nun also die Konvergenz gilt, dann gilt mit obigem:
[mm] \varepsilon [/mm] > |S(2n-1) - S(n-1)| = [mm] \summe_{i=n}^{2n-1} a_{i} \ge [/mm] n * [mm] a_{n} \ge [/mm] 0,
also ab einem gewissen Index:
[mm] \varepsilon [/mm] > n * [mm] a_{n} \ge [/mm] 0, woraus folgt, dass [mm] n*a_{n} [/mm] eine Nullfolge sein muss.
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