Beweis zu Potenzmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hab hier folgende "nette" Aufgabe zu lösen und suche nach einem Ansatz bzw. der Lösung... (P steht für Potenzmenge!)
Zeigen Sie, dass P(M) [mm] \cup [/mm] P(N) [mm] \subseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N) gilt!
Gilt auch P(M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] P(M) [mm] \cup [/mm] P(N)? Beweisen Sie es oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!
Ich hoffe mir kann wer helfen! Danke schonmal
Berndte
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=7655
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Hab das jetzt mal so gemacht, obwohl mir das Ganze ein wenig banal erscheint...
Behauptung: P(M) [mm] \cup [/mm] P(N) [mm] \subseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N)
zu zeigen: P(M) [mm] \subseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N) und P(N) [mm] \subseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N), da [mm] P(M)\cup P(N):=\{x\ |\ x\in P(M) \mbox{ oder } x\in P(N)\}
[/mm]
Sei m [mm] \in [/mm] M beliebig, so gilt m [mm] \subseteq [/mm] P(M) (also auch m [mm] \in [/mm] P(M)) und somit auch m [mm] \subseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N) (also auch m [mm] \in [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N)).
Also gilt [mm] m\in [/mm] P(M) [mm] \Rightarrow\ m\in [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N) und das bedeutet P(M) [mm] \subseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N).
Gleiches tut man nun für n [mm] \in [/mm] N.
Kommt mir aber ganz schön banal vor das Ganze....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 24.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Berndte2002,
> Hab das jetzt mal so gemacht, obwohl mir das Ganze ein
> wenig banal erscheint...
das ist es ja auch!
> Behauptung: P(M) [mm]\cup[/mm] P(N) [mm]\subseteq[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N)
>
> zu zeigen: P(M) [mm]\subseteq[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N) und P(N) [mm]\subseteq[/mm]
> P(M [mm]\cup[/mm] N), da [mm]P(M)\cup P(N):=\{x\ |\ x\in P(M) \mbox{ oder } x\in P(N)\}
[/mm]
Ja, das stimmt, das ist eine schöne Umformulierung dessen, was zu zeigen ist.
> Sei m [mm]\in[/mm] M beliebig, so gilt m [mm]\subseteq[/mm] P(M)
Das ist nicht so schön. m kann ja nicht gleichzeitig Element von M und Teilmenge von M sein. Element und Teilmenge sind ja von ihrer Struktur her zwei verschiedene Objekte, weswegen sie nicht in m vereint sein können.
Aber du meinst etwas ähnliches, nämlich:
Sei [mm] $m\in \mathcal{P}(M)$, [/mm] so gilt [mm] $m\subseteq [/mm] M$
> (also auch m [mm]\in[/mm] P(M))
ja, es gilt nur das und nicht [mm] $m\subseteq \mathcal{P}(M)$
[/mm]
> und somit auch m [mm]\subseteq[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N)
Hier der gleiche Fehler, m ist keine Teilmenge von [mm] $\mathcal{P}(M\cup [/mm] N)$, sondern...
> (also auch m [mm]\in[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N)).
... ein Element der Potenzmenge.
Diese Folgerung könnte man vielleicht noch etwas ausführlicher begründen, aber sie ist natürlich klar.
> Also gilt [mm]m\in[/mm] P(M) [mm]\Rightarrow\ m\in[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N) und das
> bedeutet P(M) [mm]\subseteq[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N).
Das ist richtig.
> Gleiches tut man nun für n [mm]\in[/mm] N.
> Kommt mir aber ganz schön banal vor das Ganze....
Was hast du erwartet, es geht um naiven Mengelehre...
Wie sieht es mit der zweiten Behauptung aus?
Viele Grüße,
Marc
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Gut danke, dann werd ich das noch ein wenig umschreiben!!!
Die zweite Behauptung ist natürlich falsch!!!
Hab ein Gegenbeispiel genommen, wobei man bei äquivalenter Beweisführung wie bei der 1. Behauptung auf einen Widerspruch kommt.
Gegenbeispiel:
M = [mm] \{1\}, [/mm] M = [mm] \{2\} [/mm] --> M [mm] \cup [/mm] N = [mm] \{1,2\}
[/mm]
P(M) = [mm] \{\emptyset, \{1\}\}
[/mm]
P(N) = [mm] \{\emptyset, \{2\}\}
[/mm]
Also:
P(M [mm] \cup [/mm] N) = [mm] \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}
[/mm]
P(M) [mm] \cup [/mm] P(N) = [mm] \{\emptyset, \{1\}, \{2\}\}
[/mm]
P(M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] P(M) [mm] \cup [/mm] P(N) gilt nicht (wegen [mm] \{1,2\})!!!
[/mm]
Somit ist die zweite Behauptung falsch!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 So 24.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Berndte2002,
> Gut danke, dann werd ich das noch ein wenig
> umschreiben!!!
Okay, eigentlich muß du ja nur Sachen weglassen 
> Die zweite Behauptung ist natürlich falsch!!!
> Hab ein Gegenbeispiel genommen, wobei man bei äquivalenter
> Beweisführung wie bei der 1. Behauptung auf einen
> Widerspruch kommt.
>
> Gegenbeispiel:
>
> M = [mm]\{1\},[/mm] M = [mm]\{2\}[/mm] --> M [mm]\cup[/mm] N = [mm]\{1,2\}
[/mm]
>
> P(M) = [mm]\{\emptyset, \{1\}\}
[/mm]
> P(N) = [mm]\{\emptyset, \{2\}\}
[/mm]
>
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> Also:
>
> P(M [mm]\cup[/mm] N) = [mm]\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}
[/mm]
> P(M)
> [mm]\cup[/mm] P(N) = [mm]\{\emptyset, \{1\}, \{2\}\}
[/mm]
>
> P(M [mm]\cup[/mm] N) [mm]\subseteq[/mm] P(M) [mm]\cup[/mm] P(N) gilt nicht (wegen
> [mm]\{1,2\})!!!
[/mm]
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> Somit ist die zweite Behauptung falsch!!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Da gibt es nichts zu meckern
Viele Grüße,
Marc
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
