Beweis zu Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mi 27.04.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
ich soll unter anderem folgendes zeigen:
Sei (G, [mm] $\circ$) [/mm] eine Gruppe mit neutralem Element e. Dann gilt
[mm] $a^m\circ a^n=a^{m+n}$.
[/mm]
Zunaechst dachte ich, dass [mm] $\circ$ [/mm] als Platzhalter fuer verschiedene Operatoren (wie z.B. "mal" oder "plus") steht. Aber in diesem Beispiel waere doch die Addition im allgemeinen falsch und es muss sich um die Multiplikation handeln, oder? Aber wieso schreibt man dann [mm] $\circ$ [/mm] und nicht gleich "mal" bzw. [mm] "$\cdot$" [/mm] ?
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mi 27.04.2005 | | Autor: | bazzzty |
Hallo Michael,
Du solltest zunächst mal von dem Gedanken loskommen, es gäbe so etwas wie Multiplikation oder Addition in Gruppen. Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung.
Das heißt: [mm]\IQ[/mm] sind zusammen mit der Addition eine Gruppe, die [mm]\IQ\setminus\{0\}[/mm] mit der Multiplikation.
Abstrahiert man von konkreten Gruppen, geht es also um die Gruppenverknüpfung, statt der schreibt man [mm]\circ[/mm], um nicht durch "plus" oder "mal" in die Irre zu führen.
In jeder Gruppe [mm](G,\circ)[/mm] ist für ein Element [mm]a\in G[/mm] vor allem der Einfachheit definiert, daß man statt [mm]\underbrace{a\circ a\circ\dots\circ a}_{n\textrm{\ mal}}[/mm] auch schreibt [mm]a^n[/mm]. Das bezeichnet nur die wiederholten Verknüpfung mit sich selbst (Hier ist auch schon die Antwort auf Deine Aufgabe), für diese Schreibweise braucht es übrigens keine Gruppe, Assoziativität reicht schon.
Gruß
Bastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 27.04.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Bastian,
danke fuer Deine schnelle Antwort! Ich glaube, ich habe das soweit jetzt verstanden. Ich haette aber noch zwei Fragen:
Ich soll zeigen, dass [mm](a^{-1})^{-1} = a\quad\forall a \in G[/mm]. Im Fischer steht, dass aus [mm] $a\circ a^{-1} [/mm] = e$ folgt, dass $a$ inverses Element zu [mm] $a^{-1}$ [/mm] ist, d.h. [mm] $(a^{-1})^{-1} [/mm] = a$. Das ist soweit auch klar. Nun wuerde mich interessieren, ob man es auch folgendermassen zeigen koennte, indem man beide Seiten der Gleichung mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] erweitert:
[mm](a^{-1})^{-1} = a \Rightarrow \underbrace{(a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}}_{e} = \underbrace{a \circ a^{-1}}_{e} \Rightarrow e=e[/mm].
Weiterhin soll ich zeigen, dass [mm]a^m \circ b^n = b^n \circ a^m \quad\forall n,m \in \IZ\quad\forall a,b \in G \mbox{ mit } a\circ b = b \circ a[/mm].
Also
[mm]a^m \circ b^n = \underbrace{(a \circ \ldots \circ a)}_{m-mal} \circ \underbrace{(b \circ \ldots \circ b)}_{n-mal} = \ldots[/mm]
Nun kann man wegen der Assoziativitaet die Klammern wegfallen lassen und jedes $b$ sukzessive mit dem davorstehenden $a$ tauschen, bis schliesslich [mm]b^n \circ a^m[/mm] gilt. Wie aber macht man das formal am besten? Einfach in Prosa beschreiben, so wie ich es hier versucht habe? Oder braucht man da Induktion oder muss man das etwa nicht extra erklaeren?
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Do 28.04.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Michael
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> danke fuer Deine schnelle Antwort! Ich glaube, ich habe das
> soweit jetzt verstanden. Ich haette aber noch zwei Fragen:
>
> Ich soll zeigen, dass [mm](a^{-1})^{-1} = a\quad\forall a \in G[/mm].
> Im Fischer steht, dass aus [mm]a\circ a^{-1} = e[/mm] folgt, dass [mm]a[/mm]
> inverses Element zu [mm]a^{-1}[/mm] ist, d.h. [mm](a^{-1})^{-1} = a[/mm]. Das
> ist soweit auch klar. Nun wuerde mich interessieren, ob man
> es auch folgendermassen zeigen koennte, indem man beide
> Seiten der Gleichung mit [mm]a^{-1}[/mm] erweitert:
>
> [mm](a^{-1})^{-1} = a \Rightarrow \underbrace{(a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}}_{e} = \underbrace{a \circ a^{-1}}_{e} \Rightarrow e=e[/mm].
Hier hast du auf jeden Fall eine falsche Schlussrichtung. Eigentlich zeigst du nur, dass e=e, wenn [mm](a^{-1})^{-1} = a [/mm].
Ich würde so anfangen:
[mm] (a^{-1}) \circ (a^{-1}) ^{-1} = e [/mm]
[mm] \Rightarrow a \circ ((a^{-1}) \circ (a^{-1}) ^{-1}) = a \circ e [/mm]
[mm] \Rightarrow (a \circ (a^{-1}) \circ ((a^{-1}) ^{-1}) = a [/mm]
Jetzt bist du fast fertig.
>
> Weiterhin soll ich zeigen, dass [mm]a^m \circ b^n = b^n \circ a^m \quad\forall n,m \in \IZ\quad\forall a,b \in G \mbox{ mit } a\circ b = b \circ a[/mm].
>
> Also
>
> [mm]a^m \circ b^n = \underbrace{(a \circ \ldots \circ a)}_{m-mal} \circ \underbrace{(b \circ \ldots \circ b)}_{n-mal} = \ldots[/mm]
>
> Nun kann man wegen der Assoziativitaet die Klammern
> wegfallen lassen und jedes [mm]b[/mm] sukzessive mit dem
> davorstehenden [mm]a[/mm] tauschen, bis schliesslich [mm]b^n \circ a^m[/mm]
> gilt. Wie aber macht man das formal am besten? Einfach in
> Prosa beschreiben, so wie ich es hier versucht habe? Oder
> braucht man da Induktion oder muss man das etwa nicht extra
> erklaeren?
Das hängt davon ab, wie genau ihr die Beweise führen sollt. Als Begründung kann deine Überlegung sicher durchgehen. Wenn das nicht reicht, würde ich es mit Induktion versuchen.
>
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Do 28.04.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Sigrid,
> Hier hast du auf jeden Fall eine falsche Schlussrichtung.
> Eigentlich zeigst du nur, dass e=e, wenn [mm](a^{-1})^{-1} = a [/mm]
>
> Ich würde so anfangen:
>
> [mm](a^{-1}) \circ (a^{-1}) ^{-1} = e[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a \circ ((a^{-1}) \circ (a^{-1}) ^{-1}) = a \circ e[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a \circ (a^{-1}) \circ ((a^{-1}) ^{-1}) = a[/mm]
>
> Jetzt bist du fast fertig.
danke! Ich sehe jetzt meinen Fehler.
> > Nun kann man wegen der Assoziativitaet die Klammern
> > wegfallen lassen und jedes [mm]b[/mm] sukzessive mit dem
> > davorstehenden [mm]a[/mm] tauschen, bis schliesslich [mm]b^n \circ a^m[/mm]
> > gilt. Wie aber macht man das formal am besten? Einfach in
> > Prosa beschreiben, so wie ich es hier versucht habe? Oder
> > braucht man da Induktion oder muss man das etwa nicht extra
> > erklaeren?
>
> Das hängt davon ab, wie genau ihr die Beweise führen sollt.
> Als Begründung kann deine Überlegung sicher durchgehen.
> Wenn das nicht reicht, würde ich es mit Induktion
> versuchen.
Da ich kein Mathematiker bin, wuerde ich sagen, dass ich damit dann wohl durchkommen wuerde.  Aber ich werde mich mal an der Induktion versuchen.
Nochmals danke,
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 28.04.2005 | | Autor: | bazzzty |
Hallo Michael,
offenbar habe ich gestern nicht abgeschickt oder was-weiß-ich.
Zum ersten Teil hast Du ja schon eine Antwort bekommen, zum zweiten hätte ich (neben der Induktion) noch eine nette Idee, wenn es denn genauer sein soll, das minimale Gegenbeispiel, sozusagen Induktion rückwärts, vielleicht eine nette Übung:
Zu zeigen ist, daß [mm]a^n\circ b^m=b^m\circ a^n[/mm], wenn [mm]a\circ b=b\circ a[/mm].
Offenbar gilt das für [mm]n+m\leq 2[/mm].
Angenommen, es gilt nicht immer, dann gibt es ein Gegenbeispiel, für das [mm]n+m[/mm] minimal ist (nicht notwendigerweise eindeutig).
Dieses minimale Gegenbeispiel sei [mm]a^{n^\star}\circ b^{m^\star}[/mm]. Da [mm]n^\star+m^\star\geq 3[/mm], ist [mm]\max(n^\star,m^\star)\geq 2[/mm].
Ist (Fall 1) [mm]n^\star\geq 2[/mm], dann ist aber
[mm]a^{n^\star}\circ b^{m^\star}=a\circ \underbrace{a^{n^\star-1}\circ b^{m^\star}}_{b^{m^\star}\circ a^{n^\star-1}}=\underbrace{a\circ b^{m^\star}}_{b^{m^\star}\circ a}\circ a^{n^\star-1}=b^{m^\star}\circ a^{n^\star}[/mm]
Der andere Fall ist analog.
Wie gesagt, eher eine kleine Übung in Beweistechnik.
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