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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Beweis zu Diagonalmatrix
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Beweis zu Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Sa 19.09.2009
Autor: hannahmaontana

Aufgabe
Sei D [mm] \in Mat(n,n;\IC) [/mm] mit [mm] D^{4}=E [/mm] Zeigen Sie: D ist diagonalisierbar.

Mein Beweis:
Wissen: [mm] D^4 [/mm] = E [mm] \gdw D^2 =(D^{-1})^2 [/mm]
       [mm] \Rightarrow D^4=DDD^2=S^{-1}DS=E, [/mm] wenn man [mm] S:=D^2 [/mm]
Also ist D ähnlich zu E und somit diagonalisierbar.

Ich habe das Gefühl mein Beweis ist falsch.

        
Bezug
Beweis zu Diagonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Sa 19.09.2009
Autor: hannahmaontana

Ich weiß jetzt wo mein Fehler ist:
>  Mein Beweis:
> Wissen: [mm]D^4[/mm] = E [mm]\gdw D^2 =(D^{-1})^2[/mm]

Hier habe ich angenommen, dass [mm] D^2 [/mm] das inverse Element zu D ist, aber [mm] D^2 [/mm] ist nur zu sich selbst invers.
also ist der rest falsch. weiß jemand eine alternative?


Bezug
        
Bezug
Beweis zu Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 So 20.09.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei D [mm]\in Mat(n,n;\IC)[/mm] mit [mm]D^{4}=E[/mm] Zeigen Sie: D ist
> diagonalisierbar.
>  Mein Beweis:
> Wissen: [mm]D^4[/mm] = E [mm]\gdw D^2 =(D^{-1})^2[/mm]
>         [mm]\Rightarrow D^4=DDD^2=S^{-1}DS=E,[/mm]
> wenn man [mm]S:=D^2[/mm]
>  Also ist D ähnlich zu E und somit diagonalisierbar.
>  
> Ich habe das Gefühl mein Beweis ist falsch.

Warum er falsch ist hast du ja schon gemerkt.

Aber du kannst doch eine Jordansche Normalform nehmen. Also nimm ein invertierbares $S$ so, dass [mm] $S^{-1} [/mm] D S$ in JNF ist. Dann ist $E = [mm] S^{-1} D^4 [/mm] S = [mm] (S^{-1} [/mm] D [mm] S)^4$. [/mm]

Wie sieht nun [mm] $(S^{-1} [/mm] D [mm] S)^4$ [/mm] aus, wenn [mm] $S^{-1} [/mm] D S$ in JNF ist? Was kannst du damit ueber die JNF [mm] $S^{-1} [/mm] D S$ sagen?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Beweis zu Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:40 So 20.09.2009
Autor: hannahmaontana


> Aber du kannst doch eine Jordansche Normalform nehmen. Also
> nimm ein invertierbares [mm]S[/mm] so, dass [mm]S^{-1} D S[/mm] in JNF ist.
> Dann ist [mm]E = S^{-1} D^4 S = (S^{-1} D S)^4[/mm].

Warum gilt das denn: [mm] S^{-1} D^4 [/mm] S = [mm] (S^{-1} [/mm] D [mm] S)^4 [/mm]  ?



Bezug
                        
Bezug
Beweis zu Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:07 So 20.09.2009
Autor: angela.h.b.


> > Aber du kannst doch eine Jordansche Normalform nehmen. Also
> > nimm ein invertierbares [mm]S[/mm] so, dass [mm]S^{-1} D S[/mm] in JNF ist.
> > Dann ist [mm]E = S^{-1} D^4 S = (S^{-1} D S)^4[/mm].
>  Warum gilt
> das denn: [mm]S^{-1} D^4[/mm] S = [mm](S^{-1}[/mm] D [mm]S)^4[/mm]  ?

Hallo,

schreib die rechte Seite doch mal aus, dann siehst Du's.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Beweis zu Diagonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:46 So 20.09.2009
Autor: hannahmaontana


> Wie sieht nun [mm](S^{-1} D S)^4[/mm] aus, wenn [mm]S^{-1} D S[/mm] in JNF
> ist? Was kannst du damit ueber die JNF [mm]S^{-1} D S[/mm] sagen?
>  

Die JNF [mm]S^{-1} D S[/mm] darf nur Eigenwerte 1 haben, weil ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben!?!

Bezug
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