Beweis zu Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mi 16.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
| Aufgabe | Sei A eine m x n Matrix und B eine n x m Matrix , mit m>n
Zeigen sie det(AB)=0 |
Ich komme bei der Aufgabe nicht so recht weiter.
also (AB) ist ja eine m x m matrix.
Ich nehme an für A und B ist eine determinante nicht definiert, da die determinante ja nur auf quadratische matrizen definiert ist.
Hab wirklich keine Beweisidee kann mir jemand nen tipp geben?
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moin gnom,
Ich nehme mal an du bewegst dich über einem Körper?
Also etwa [mm] $\IR$ [/mm] zum Beispiel?
Dann arbeite hier am besten mit dem Rang.
Was weißt du über den Rang einer Matrix, wenn ihre Determinante ungleich 0 wäre?
Ist dies in diesem Fall möglich?
Hast du irgendwo im Skript eine Formel, eine Abschätzung, etwas in der Form "Wenn A den Rang a hat und B den Rang b, dann hat AB höchstens den Rang..." ?
Wenn du da ein wenig in deinem Skript blätterst und falls du den entsprechenden Satz schon hattest dürfte der Beweis kein all zu großes Problem werden.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Do 17.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Nein leider hat die vorlesung bei uns eine seltsame reihenfolge
Wir haben angefangen mit gleichungsysteme.
Dann haben wir matrizen eingeführt:
invertieren von matrizen mittels Elementarmatrizen
Und dan haben wir schon mit der definition der determinante angefangen. Wobei wir die existens der Determinant noch nicht gezeig haben.
Wir haben lediglich gesagt, welche eigenschaften die Determinante haben soll.
Für die Aufgabe ist wohl interresant Det [mm] (A)\not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] A ist Invertierbar.
Also ich soll wohl zeigen , dass (AB) nicht invertierbar ist. Aber wie mache ich das ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
A und B kannst Du doch als lineare Abbildungen Auffasen:
[mm] A:\IR^n \to \IR^m, [/mm] B: [mm] \IR^m \to \IR^n.
[/mm]
Nimm an, es sei det(AB) [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist die Abb. AB: [mm] \IR^m \to \IR^m [/mm] bijektiv.
Sei x [mm] \in [/mm] Kern(B), also Bx=0. Dann ist auch ABx=0 und somit x=0.
Wir haben also: Kern(B)={ 0 }.
Jetzt bemühe den Dimensionssatz für lineare Abbildungen und Du erhältst einen Widerspruch.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:18 Do 17.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Ja den Beweis würde ich auch hinbekommen aber wir haben Alle diese begriffe nicht eingeführt.
Wir haben noch keine Lineare abbildungen eingeführt.Somit kann ich auch nicht über die Dimension Der Abbildungen (Matrizen) Argumentieren.
Ich denke das es üblich ist in der Lineare algebra erst Vektorräume einzuführen um dan Matrizen als Lineare Abbildungen Zwichen VR aufzufassen.
Aber dies ist bei uns nicht geschehen.
Wir haben angefangen mit Linearen gleichungsystemen...Haben Festgestellt wann sie lösbar sind etc.
m x n Matrizen wurden dan einfach eingeführt als anordnung von zahlen die in einem schema der Form eines Rechtecks angeornet werden. Diese Schema besteht aus m zeilen und n spalten.
Dann wurden Elementarmatrizen eingeführt sowie der zusammenhang von gleichungssystemen zu matrizen.
Ausserdem haben wir festgestellt wann eine Matrix invertierbar ist.
Anschliesend haben wir angefangen die Determinante einzuführen mit dem der vorgabe das det(a)=0 [mm] \gdw [/mm] A ist invertierbar gelten soll.
Ich muss also irgendwie zeigen das (AB) nicht invertierbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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