Beweis: y_n ist Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mi 14.11.2007 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | Es sei [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Nullfolge mit [mm] x_n [/mm] > -1, [mm] n\in \IN. [/mm] Ferner sei k eine positive ganze Zahl. Zeigen Sie: Die Folge [mm] (y_n)_{n\in \IN} [/mm] mit
[mm] y_n=\wurzel[k]{1+x_n}-1, n\in \IN [/mm] ist eine Nullfolge |
Hey LEute ich tue mich ein wenig schwerm it dieser Aufgabe.
Hoffe ihr könnt mir nen Denkanschubser geben :).
Ich schreib mal auf was ich mir dabei gedacht habe:
[mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] ist eine Nullfolge, [mm]x_n>-1, n\in \IN[/mm]
d.h.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty }x_n=0[/mm] [mm]\gdw[/mm]
[mm]\forall \epsilon>0\exists n(\epsilon)\in \IN:\forall n\ge n(\epsilon):\left| x_n\right|<\epsilon [/mm]
Zu zeigen:
[mm]\forall \epsilon'>0\exists n'(\epsilon)\in \IN:\forall n\ge n(\epsilon):\left| y_n\right|<\epsilon' [/mm]
Also angewandt auf [mm]y_n[/mm]:
[mm]\left| \wurzel[k]{1+x_n}-1\right|<\epsilon'[/mm]
wir wissen bereits das gilt [mm]\left|x_n\right|<\epsilon[/mm]
Nun haben wir folgenden Hinweis bekommen:
[mm]\left|a-b\right|=\left|a+(-b)\right|\le \left|a\right|+\left|-b\right|=\left|a\right|+\left|b\right|[/mm]
Das habe ich versucht auf diese Aufgabe anzuwenden
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] ist eine Nullfolge, [mm]x_n>-1, n\in \IN[/mm]
d.h.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty }x_n=0[/mm] [mm]\gdw[/mm]
[mm]\forall \epsilon>0\exists n(\epsilon)\in \IN:\forall n\ge n(\epsilon):\left| x_n\right|<\epsilon [/mm]
Zu zeigen:
[mm]\forall \epsilon'>0\exists n'(\epsilon)\in \IN:\forall n\ge n(\epsilon):\left| y_n\right|<\epsilon' [/mm]
Also angewandt auf [mm]y_n[/mm]:
[mm]\left| \wurzel[k]{1+x_n}-1\right|\le \left| \wurzel[k]{1+x_n}+(-(-1))\right|\le\left|\wurzel[k]{1+x_n}\right|+\left|1\right|=\left|\wurzel[k]{1+x_n}\right|+\left|1\right|<\epsilon'[/mm]
Ist das okay so? WEnn nicht wie muss ich da rangehen.
Wäre um ein paar Tipps dankbar.
lg crashy
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mi 14.11.2007 | | Autor: | crashby |
Hallo, kann mir hier keiner helfen ;( ?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 14.11.2007 | | Autor: | crashby |
hey,kann doch nicht sein,dass hier das keienr weiß ;) wo sind die fleißigen Helfer?
Ich kann meinen Ansatz nicht weiter ausbauen, da ich nicht weiß wie.
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich denke, daß es sinnvoller wäre statt noch mehrmals nachzufragen, wenn Du ein bißchen was aus dem Dunstkreis der Aufgabe erzählen würdest.
Wo seid Ihr gerade?
Was wißt Ihr über die n-te Wurzel?
Waren die Stetigkeit und irgendwelche speziellen Funktionen schon dran?
Ich kann diese Aufgabe schlecht einordnen.
Dann irritiert mich noch ganz extrem das k in Deiner Aufgabenstellung - weil es nirgends mehr vorkommt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Do 15.11.2007 | | Autor: | crashby |
Hey angela,
sorry hatte mich wohl ein wenig vertan, jetzt stimmt es.
Wir sind nun bei Reihen. Hatten also schon Folgen, Nullfolgen und Cauchyfolgen.
Wir hatten einmal den Grenzwert von n te wurzel aus n bestimmt aber mehr nicht.
Stimmt denn mein Ansatz ?
|
|
|
| |
|
> Es sei [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Nullfolge mit [mm]x_n[/mm] > -1, [mm]n\in \IN.[/mm]
> Ferner sei k eine positive ganze Zahl. Zeigen Sie: Die
> Folge [mm](y_n)_{n\in \IN}[/mm] mit
> [mm]y_n=\wurzel[k]{1+x_n}-1, n\in \IN[/mm] ist eine Nullfolge
> Zu zeigen:
>
> [mm]\forall \epsilon'>0\exists n'(\epsilon)\in \IN:\forall n\ge n(\epsilon):\left| y_n\right|<\epsilon'[/mm]
>
> Also angewandt auf [mm]y_n[/mm]:
>
> [mm]\left| \wurzel[k]{1+x_n}-1\right|\le \left| \wurzel[k]{1+x_n}+(-(-1))\right|\le\left|\wurzel[k]{1+x_n}\right|+\left|1\right|=\left|\wurzel[k]{1+x_n}\right|+\left|1\right|<\epsilon'[/mm]
>
> Ist das okay so? WEnn nicht wie muss ich da rangehen.
Hallo,
an der Stelle
[mm] ...==\left|\wurzel[k]{1+x_n}\right|+\left|1\right|<\epsilon'
[/mm]
bekommst Du ein Problem: Du wirst nie zeigen können, daß das [mm] <\epsilon' [/mm] ist, weil ja die linke Seite größer als 1 ist.
Mir ist nichts eingefallen, womit man [mm] y_n [/mm] epsilonisieren kann.
Mein Vorschlag:
Bearbeite die Aufgabe mit den Satzen über Addition und Multiplikation v. Grenzwerten.
[mm] z_n:=\wurzel[k]{1+x_n}.
[/mm]
Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(z_n)^k.
[/mm]
Dieser ist [mm] =(\limes_{n\rightarrow\infty}z_n)^k, [/mm] woraus Du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_n [/mm] erhältst.
es ist [mm] y_n=z_n-1, [/mm] also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=...
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Fr 16.11.2007 | | Autor: | crashby |
Okay darauf hätte ich natürlich selber kommen sollen aber unser Übungsleiter hat uns das so vorgegeben, dass wir das mit der Epsilon Schreibweise beweisen sollen.
Er gibt uns immer Hinweise und wir sollen es dann so lösen wie er es vorgegeben hat aber ich glabue ich werde am Montag mal sagen,dass es nicht so gut ist.
Ich danke dir nun ist es klar. EIgentlich völlig trivial ;)
lg George
|
|
|
| |
|
> aber
> unser Übungsleiter hat uns das so vorgegeben, dass wir das
> mit der Epsilon Schreibweise beweisen sollen.
Hallo,
ich wäre ggf. interessiert daran, wie man das macht - wie gesagt, ist es mir nicht eingefallen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 16.11.2007 | | Autor: | crashby |
Ja ich schreib es dann hier rein und werde am Montag danach fragen aber warum sollen wr es uns komplizierter machen, wenn wir es viel leichter lösen können.
Bis denne und schönes Wochenende :)
|
|
|
|
