Beweis \wurzel{n} < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Limone81 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Zahl [mm] \wurzel{n} [/mm] einer natürlichen Zahl n entweder natürlich oder irrational ist. |
hallo ich habe hier voll das ansatz problem. ich würde als erstes beweisen, dass n eine quadratzahl sein kannl, also man n in primfaktoren zerlegen kann:
n=p²
da der faktor der Zerlegung eine natürliche Zahl ist und ist es somit das produkt auch.
Aber ich habe schwierigkeiten, wie ich das mathematisch formulieren soll.
und weiter komme ich nicht, weil ich nihct weiß wie ich zeigen soll, das [mm] \wurzel{n} [/mm] eine irrationale zahl sein soll wenn n keine Quadratzahl ist.
es wäre schön wenn mir jemand da einen tipp geben könnte.
danke
|
|
| |
|
Hiho,
ok, du hast: [mm] \wurzel{n} [/mm] ist entweder natürlich oder irrational...... also soll sie NICHT was sein?
Nimm an sie sei das und dann zeige, dass das zum Widerspruch führt 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Limone81 |
hallo,
also ich habs versucht komm aber nihct weiter.
also annahme: [mm] \wurzel{n} \in\IR \Rightarrow [/mm] es existieren p,q [mm] \in \IN [/mm] mit ggT(p,q)=1 mit [mm] q\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow n=(\bruch{p}{q})^2 [/mm] = [mm] \bruch{p^2}{q^2} \gdw p^2= nq^2 [/mm]
ok aber ich weiß nicht wie ich hier weiter machen soll, da in dem beweis der [mm] \wurzel{2} [/mm] von euklid jetzt mit der geraden zahlargumentiert wird
das einzige was mir noch einfällt ist zu sagen, da p und q teilerfremd sind sind es entweder primzahlen oder eine grade und eione ungerade, aber das führt mich auch nicht zum wiederspruch.
aber bitte wie soll ich hier weitermachen? es wäre schön wenn mir da jemand auf die sprünge helfen könnte
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 17.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> also annahme: [mm]\wurzel{n} \in\IR \Rightarrow[/mm] es existieren
[m]\in\IQ \setminus \IN[/m]
> p,q [mm]\in \IN[/mm] mit ggT(p,q)=1 mit [mm]q\not=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow n=(\bruch{p}{q})^2[/mm] = [mm]\bruch{p^2}{q^2} \gdw p^2= nq^2[/mm]
> das einzige was mir noch einfällt ist zu sagen, da p und
> q teilerfremd sind sind es entweder primzahlen oder eine
> grade und eione ungerade,
Das ist Unsinn.
> aber bitte wie soll ich hier weitermachen? es wäre schön
> wenn mir da jemand auf die sprünge helfen könnte
> danke
Primzahlzerlegung.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Limone81 |
jetzt bin ich total verwirrt, ich dachte man soll das mit gegenannahme zum widerspruch beweisen und wo bitte soll cih jetzt die primfaktorzerlegung anwenden und wie genau??? sorry, cih steh grad vollkommen auf dem schlauch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Do 18.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> jetzt bin ich total verwirrt, ich dachte man soll das mit
> gegenannahme zum widerspruch beweisen
Ja. Und?
> und wo bitte soll cih
> jetzt die primfaktorzerlegung anwenden und wie genau???
Auf die Gleichung - zerlege beide Seiten in Primfaktoren und fange an zu teilen ...
> sorry, cih steh grad vollkommen auf dem schlauch...
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Do 18.03.2010 | | Autor: | Limone81 |
also ich habe ja schon geschrieben dass sich n aus teilerfremden zahlen darstellen lässt, also ein rationale zahl entsteht. wenn ich jetzt da eine unbekannte zahl in unbekannte Primfaktoren zerlege weiß ich nicht, welche p und q gemeinsam haben und durch welche ich teilen kann und vor allem wie ich damit argumentieren soll, deswegen frag ich ja nach hilfe. wäre also schön, wenn mir jemand einen ansatz geben kann dazu!
Danke im voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Do 18.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch p und q als teilerfremd deklariert. weil p/q gekürzt ist. also ist auch [mm] p^2 [/mm] und [mm] q^2 [/mm] teilerfremd, also ist [mm] p^2=n*q^2 [/mm] durch was teilbar?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Beweisen Sie, dass die Zahl [mm]\wurzel{n}[/mm] einer natürlichen
> Zahl n entweder natürlich oder irrational ist.
Hallo Limone81,
ich vermute mal, dass du schon mal einen Beweis für die
Irrationalität von [mm] \sqrt{2} [/mm] angetroffen hast. Daran könntest
du dich über die anzuwendende Idee orientieren.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
