Beweis von Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 12.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für [mm] a,b\in(0,\infty) [/mm] und r,s [mm] \in\IQ, [/mm] r<s gilt:
(i) r>0 und a<b => [mm] a^r
(ii) a>1 => [mm] a^r
(iii)0<a<1 => [mm] a^r>a^s [/mm] |
Zu (i) wurde uns gesagt, man könne [mm] r=\left \bruch{n}{m} \right [/mm] annehmen, wobei n [mm] \in\IZ [/mm] und m [mm] \in\IN:
[/mm]
a<b=>a-b<0
[mm] r=\left \bruch{n}{m}=>\left \bruch{n}{m}>0
\left \bruch{n}{m}>a-b=>n>m(a-b)
Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Hat jemand eine Idee wie ich am Ende auf a^r
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
$a<b$
[mm] $\Rightarrow ab
[mm] $\Rightarrow a^2
Per Induktion kannst Du jetzt folgern [mm] $a^n
Jetzt drehst Du das um und zeigst
$a<b$
[mm] $\Rightarrow a^{\frac 1m} [/mm] < [mm] b^{\frac 1m}$
[/mm]
Aus beidem zusammen kannst Du dann auf beliebiges [mm] $\frac [/mm] nm = [mm] r\in\IQ$ [/mm] schließen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 12.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Du meinst also, ich soll einmal einen Induktionsbeweis für [mm] a^n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Du meinst also, ich soll einmal einen Induktionsbeweis für
> [mm]a^n
> Sprich ich setze eben einmal n=1 und m=1 und n+1 und m+1?
Was heißt "eben einmal" ?
Mache 2 ordentliche Induktionsbeweise.
> Und wenn beides gilt, dann gilt auch [mm]a^r
> hab ich das richtig verstanden?
Nimm mal an, Du hast diese Beweise gemacht. Dann hast Du: [mm] a^n
Dann folgt auch [mm] (a^n)^{1/m}<(b^n)^{1/m}
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Sa 12.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Stimmt, die Begründung ist verständlich, nun weiß ich Bescheid bei der (i), danke.
Jetzt ist die Frage, wie ich bei der (ii) weitermache. Ich darf ja die Erkenntnis aus der (i) benutzen.
Aber [mm] a^r>1 [/mm] gilt ja nicht, da r=n/m und n auch negativ sein dürfte.
Wir wissen aber, dass r<s => n/m<s => n<sm. Da kann ich aber schlecht mit Induktion argumentieren. Wie könnte ich da herangehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 13.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 13.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Also, habe das ganze jetzt noch bewiesen, zumindest die (ii) und zwar:
r<s => 0<s-r
a>1 => a^(s-r)>1 da 0<s-r
[mm] a^{s-r}=a^s/a^r [/mm] => [mm] a^s/a^r>1 [/mm] => [mm] a^r
Bei der (iii) hab ich aber ein Problem:
Wenn s>r gilt, dann folgt daraus, dass r−s<0.
Wenn ich das nun einsetze bei a<1 => a^(r−s)<1 => [mm] a^r/a^s<1 [/mm] => [mm] a^r
Was ja nicht stimmt. Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 13.11.2011 | | Autor: | Blech |
> a<1 => a^(r−s)<1
Setz mal für [mm] $a=\frac [/mm] 12$, r=1, s=2, dann siehst Du, daß das nicht stimmen kann.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 13.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, du hast recht, das stimmt nicht, hättest du einen Tipp für mich, wie ich anfangen kann. Analog zur (ii) geht das ja anscheinend nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 13.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Analog zur (ii) geht das ja anscheinend nicht.
doch tut's, nur Deine Ungleichung ist falsch. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 13.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Habe jetzt die ganze Zeit schon rumprobiert und finde meinen Fehler nicht. Ich versuchs nochmal:
Es gilt ja 0<a<1. Somit ist a<1. Außerdem gilt r<s => s-r>0.
Ich glaube jetzt seh ichs, da für a gilt 0<a<1, dann gilt:
0<a^(s-r)<1 => [mm] a^s/a^r<1 [/mm] => [mm] a^s
Und was stimmt ja! So müsste es stimmen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 13.11.2011 | | Autor: | Blech |
> So müsste es stimmen!
Yep.
ciao
Stefan
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