Beweis von Sym. / Transit. < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe eine Frage zum Thema Relationen bzw. zum Nachweisen bestimmter Eigenschaften einer Relation (reflexiv, symmetrisch, tranistiv).
Beispiel:
M:= Die Menge aller Bücher.
(x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] :\gdw [/mm] x und y besitzen die selbe ISBN-Nummer.
Prüfen, ob die Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv ist:
Reflexiv:
R ist reflexiv, weil jedes Buch x die selbe ISBN-Nummer besitzt wie x.
Es gilt (x, x) [mm] \in [/mm] R für alle x [mm] \in [/mm] M
Symmetrisch:
R ist symmetrisch, weil für alle Bücher x, y gilt: Wenn x die selbe ISBN-Nummer wie y hat, dann hat auch y die selbe ISBN-Nummer wie x.
Es gilt: (x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] (y, x) [mm] \in [/mm] R für alle x,y [mm] \in [/mm] M
Transitiv:
R ist transitiv, weil für alle Bücher x, y, z gilt: Wenn x die selbe ISBN-Nummer wie y hat und y die selbe ISBN-Nummer wie z hat, dann hat x die selbe ISBN-Nummer wie z.
Es gilt: (x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y, z) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (x, z) [mm] \in [/mm] R für alle x, y, z [mm] \in [/mm] M
Meine Frage bezieht sich auf die Fett makierten Stellen bei der Begründung zur Symmetrie und zur Transitivität.
Die Definitionen zur Symmetrie und zur Transitivität gelten ja jeweils immer für alle x, y bzw. x, y, z. Dies habe ich auch in meinen Begründungen mit hingeschrieben. In der Begründung von Wikibooks:
[mm] http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Relation:_%C3%84quivalenzrelation#Einf.C3.BChrendes_Beispiel
[/mm]
wird die Symmetrie und Transitivität aber meiner Meinung nach etwas zu ungenau ausgedrückt. Dort heißt es z.B. zur Symmetrie:
"symmetrisch (Wenn x und y dieselbe ISB-Nummer besitzen, dann besitzen auch y und x dieselbe ISB-Nummer.)"
Fehlt da nicht die Angabe, dass dies für alle x, y [mm] \in [/mm] M gelten muss? So lautet es nämlich in der allgemeinen Definition zur Symmetrie.
Auf Wikipedia gibts auch ein Beispiel, bei dem genauso "schwammig" argumentiert wird, da bei der Erklärung zur Symmetrie und Transitivität nicht genau hervorgeht, dass dies jeweils für alle x, y bzw x, y z [mm] \in [/mm] M gelten muss.
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Hallo Peeter123,
> Hallo,
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> Ich habe eine Frage zum Thema Relationen bzw. zum
> Nachweisen bestimmter Eigenschaften einer Relation
> (reflexiv, symmetrisch, tranistiv).
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> Beispiel:
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> M:= Die Menge aller Bücher.
>
> (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]:\gdw[/mm] x und y besitzen die selbe ISBN-Nummer.
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> Prüfen, ob die Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv
> ist:
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> Reflexiv:
> R ist reflexiv, weil jedes Buch x die selbe ISBN-Nummer
> besitzt wie x.
> Es gilt (x, x) [mm]\in[/mm] R für alle x [mm]\in[/mm] M ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Symmetrisch:
> R ist symmetrisch, weil für alle Bücher x, y gilt: Wenn
> x die selbe ISBN-Nummer wie y hat, dann hat auch y die
> selbe ISBN-Nummer wie x.
> Es gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] (y, x) [mm]\in[/mm] R für alle x,y [mm]\in[/mm]
> M
>
>
> Transitiv:
> R ist transitiv, weil für alle Bücher x, y, z gilt: Wenn
> x die selbe ISBN-Nummer wie y hat und y die selbe
> ISBN-Nummer wie z hat, dann hat x die selbe ISBN-Nummer wie
> z.
> Es gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y, z) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (x,
> z) [mm]\in[/mm] R für alle x, y, z [mm]\in[/mm] M
>
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> Meine Frage bezieht sich auf die Fett makierten Stellen bei
> der Begründung zur Symmetrie und zur Transitivität.
>
> Die Definitionen zur Symmetrie und zur Transitivität
> gelten ja jeweils immer für alle x, y bzw. x, y, z. Dies
> habe ich auch in meinen Begründungen mit hingeschrieben.
> In der Begründung von Wikibooks:
>
> [mm]http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Relation:_%C3%84quivalenzrelation#Einf.C3.BChrendes_Beispiel[/mm]
>
> wird die Symmetrie und Transitivität aber meiner Meinung
> nach etwas zu ungenau ausgedrückt. Dort heißt es z.B. zur
> Symmetrie:
>
> "symmetrisch (Wenn x und y dieselbe ISB-Nummer besitzen,
> dann besitzen auch y und x dieselbe ISB-Nummer.)"
>
> Fehlt da nicht die Angabe, dass dies für alle x, y [mm]\in[/mm] M
> gelten muss? So lautet es nämlich in der allgemeinen
> Definition zur Symmetrie.
>
> Auf Wikipedia gibts auch ein Beispiel, bei dem genauso
> "schwammig" argumentiert wird, da bei der Erklärung zur
> Symmetrie und Transitivität nicht genau hervorgeht, dass
> dies jeweils für alle x, y bzw x, y z [mm]\in[/mm] M gelten muss.
Ja, du hast recht, man müsste streng genommen "für alle ..." dazuschreiben. Ich nehme an, dass ist in den Artikeln "stillschweigend" unterstellt, bzw. es sind beliebige [mm]x,y[/mm] bzw. [mm]x,y,z[/mm] gemeint ...
Die Allaussage "für alle ... gilt ..." zeigst du ja, indem du beliebige, aber dann fest ... hernimmst und dann die Aussage für diese ... zeigst.
Gruß
schachuzipus
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