Beweis von Sup und Inf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Beweisführung: Wie kann ich beweisen, dass eine nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum und umgekehrt auch jede nach unten beschränkte Teilmenge ein Supremum hat. D.H. wie zeige ich, dass sup(S) = inf(-S). Komme da ger nicht weiter...;(. Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Vielen Dnak schon einmal!!
Liebe Grüße
Niente
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> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur Beweisführung: Wie kann ich
> beweisen, dass eine nicht leere nach oben beschränkte
> Teilmenge ein Supremum und umgekehrt auch jede nach unten
> beschränkte Teilmenge ein Supremum hat. D.H. wie zeige ich,
> dass sup(S) = inf(-S). Komme da ger nicht weiter...;(.
Hallo, daß was Du da schreibst, wirst Du so, wie's da steht, nicht beweisen können...
Wenn Deine Grundmenge nämlich [mm] \IQ [/mm] ist, hat nicht jede beschränkte Teilmenge ein Supremum.
Allerdings - in der Grundmenge [mm] \IR [/mm] gilt die Behauptung.
Und sie ist so bekannt und wichtig, daß der Beweis in nahezu jedem Analysisbuch zu finden ist, wenn nicht gar in jedem.
Man zeigt es mit Intervallhalbierung.
Nimmt eine obere Schranke [mm] S_0 \in \IR [/mm] und ein Element [mm] x_0 [/mm] aus der Teilmenge S und konstruiert eine Intervallschachtelung so, daß
[mm] [x_{n+1}, S_{n+1}] \subseteq [x_n, S_n] [/mm] und [mm] S_n-x_n \le2^{-n}(S_0-x_0).
[/mm]
Die Folge [mm] S_n [/mm] ist monoton fallend und beschränkt, hat also einen Grenzwert, von welchem man anschließend zu zeigen hat, daß er eine obere Schranke von S ist, und daß es keine kleinere gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 17.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hey Angela,
danke für deine Antwort. Habe leider aber nicht viel verstanden;(. Du hast recht, zu zeigen ist das Ganze nur für die reellen Zahlen...
Ich verstehe gar nicht, wie du auf die Intervallschachtelung gekommen bist, geschweige denn, wie ich beweisen kann, dass etwas die größte Schranke ist...;(;( In meinem Buch habe ich auch nichts gefunden...;(
Bitte helft mir! Vielen Dank schon einmal!!!
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> Hey Angela,
>
> danke für deine Antwort. Habe leider aber nicht viel
> verstanden;(. Du hast recht, zu zeigen ist das Ganze nur
> für die reellen Zahlen...
> Ich verstehe gar nicht, wie du auf die
> Intervallschachtelung gekommen bist, geschweige denn, wie
> ich beweisen kann, dass etwas die größte Schranke
> ist...;(;( In meinem Buch habe ich auch nichts
> gefunden...;(
Hast Du schonmal da nachgeguckt, wo erklärt ist, was Intervalle sind und so?
Du hast also eine Teilmenge [mm] \emptyset \not= [/mm] T [mm] \subseteq \IR. [/mm] Nach Voraussetzung ist T beschränkt, d. h. es gibt ein [mm] K_0 \in \IR [/mm] mit [mm] K_0 \ge [/mm] T für alle x [mm] \in [/mm] T.
Weil T [mm] \not= \emptyset, [/mm] gibt es ein [mm] x_0 \in [/mm] T.
Weil [mm] K_0 [/mm] obere Schranke, ist [mm] x_0 \le K_0.
[/mm]
Jetzt kann man hieraus sich eine Folge [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (K_n) [/mm] konstruieren, rekursiv wie folgt:
Betrachte das Intervall [mm] [x_n, K_n].
[/mm]
Es ist [mm] \bruch{K_n-x_n}{2} [/mm] die Mitte des Intervalls.
Ist [mm] \bruch{K_n-x_n}{2} [/mm] obere Schranke von T, so setze [mm] x_{n+1}:=x_n [/mm] und [mm] K_{n+1}:={K_n-x_n}{2}
[/mm]
Andernfalls wähle ein Element [mm] x_n+1 [/mm] im Intervall [mm] ]\bruch{K_n-x_n}{2}, K_n] \cap [/mm] T.
Über diese Folgen kann man per Induktion zeigen: [mm] (x_n) [/mm] ist monoton wachsend, [mm] (K_n) [/mm] ist monoton fallend, und [mm] K_n-x_n \le2^{-n}(K_0-x_0).
[/mm]
[mm] (K_n) [/mm] ist nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt (wodüurch?).
Daher konvergiert die Folge gegen ein K [mm] \in \IR.
[/mm]
Jetzt - wenn Du alles soweit verstanden hast und Dir zwecks Verständnis passende Bildchen gemalt hast (Führe diese Intervallhalbierungsmethode wirklichmal an einem Beispiel durch!) - mußt Du Dir überlegen, daß der Grenzwert K eine obere Schranke ist für T.
Und anschließend, warum es keine kleinere gibt. dazu kannst Du annehmen, daß es eine kleinere gibt, und das zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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