Beweis von Stammfunktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 09.02.2009 | | Autor: | KaJaTa |
| Aufgabe | Gegeben:
f: [a;b] --> R
Voraussetzung: f ist nicht konstant
Behauptung: Es gibt ein x [mm] \in [/mm] ]a;b[ mit f' [mm] \not= [/mm] 0 |
Und dies soll ich beweisen. Hab jedoch kein Plan wie das gehen soll. Wer kann mir helfen?
Danke schon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo KaJaTa,
versuch es mal mit einem indirekten Beweis:
Ann: es gibt kein [mm]x \in ]a,b[, f'(x) \not= 0[/mm]
Daraus folgt....
....
.... Widerspruch 
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 09.02.2009 | | Autor: | KaJaTa |
Also, ich habe mir mal überlegt, dass alle nicht konstanten Funktionen auf dem Intervall [a;b] laut dem Zwischenwertsatz alle Funktionswerte zwischen f(a) und f(b) annehmen.
Folglich muss, wenn f(a) und f(b) negative Vorzeichen haben auch irgedwann ein Monotoniewechsel stattfinden.
Also muss f'(x) irgendwann auch mal 0 sein. Und die restlichen Ableitungen müssten dann [mm] \not= [/mm] 0 sein, da dies ja keine Extrema sind.
Aber das kann doch nicht der Beweis sein oder?
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> Aber das kann doch nicht der Beweis sein oder?
Richtig, das ist eine Überlegung, die du angestellt hast, aber kein Beweis.
Wenn du diesen Weg gehen willst, musst du wohl über den Mittelwertsatz gehen, wobei du da wieder die Fallunterscheidung f(a) [mm] \not= [/mm] f(b) und f(a) = f(b) hast..... erster Fall ist einfach (warum). Schau dir dazu mal an, was der Mittelwertsatz aussagt und überlege dir, was im Fall f(a) [mm] \not= [/mm] f(b) gilt.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mo 09.02.2009 | | Autor: | KaJaTa |
Ok klingt soweit auch logisch ;)
Aber da wir den Mittelwertsatz noch nicht hatten werde ich an dieser Stelle aufhören ;)
Aber danke für die Hinweise :)
Bin mal gespannt wie das gehen soll ;)
MfG,
KaJaTa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Di 10.02.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ich tippe ganz stark auf einen indirekten Beweis wie in der ersten Antwort beschrieben :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 10.02.2009 | | Autor: | KaJaTa |
Jap es wurde mit einem indirekten Beweis gemacht.
Irgendwas was mit Mittelwertsatz, so dass
[mm] f(d)-f(c)\not=0
[/mm]
Weil die ja verschiedene Funktionswerte haben.
(c und d wegen dem Intervall a, b damit man das nicht verwechselt)
f(d) - f(c) = 0 ist ja nur gegeben, wenn f eine Konstante ist. Und das ist ja ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Und somit wäre es ja bewiesen ;)
Aber danke nochmal. Vlt wäre ich gestern noch draufgekommen aber 12 war mir dann zu spät ;)
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> Gegeben:
> f: [a;b] --> R
> Voraussetzung: f ist nicht konstant
> Behauptung: Es gibt ein x [mm]\in[/mm] ]a;b[ mit f' [mm]\not=[/mm] 0
Hallo KaJaTa,
wenn du diese Aufgabe zu ihrem Nennwert nimmst,
kannst du dir eigentlich jegliches Kopfzerbrechen
ersparen.
Warum ?
Die Behauptung, so wie sie dasteht, ist unter
den angegebenen Voraussetzungen falsch !
Es gibt nämlich nicht konstante Funktionen
f: [mm] [a;b]\to\IR [/mm] , welche an keiner einzigen Stelle
ableitbar sind, zum Beispiel die Funktion f mit
$\ f(x)\ =\ [mm] \begin{cases} 1\,, & \tbox{falls}\ \ x\in\IQ \\ 0\,, & \tbox{falls}\ \ x\not\in\IQ \end{cases}$
[/mm]
Falls keine zusätzliche Voraussetzung gegeben
war (nämlich dass f differenzierbar sein soll),
kannst du mit dieser Antwort eine interessante
Lektion einläuten !
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mo 09.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
ausgezeichnet beobachtet!
Es würde aber reichen, wenn man f als stetig voraussetzt, nicht einmal notwendig differenzierbar.
Trotzdem: die Aufgabe ist schlecht gestellt.
Grüße,
reverend
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> Es würde aber reichen, wenn man f als stetig voraussetzt,
> nicht einmal notwendig differenzierbar.
So wie ich mich erinnere, kann man auch stetige
Funktionen auf einem Intervall definieren, die an
keiner Stelle differenzierbar sind !
Frag mich aber nicht nach Details dieser Monster !
Lieben Gruß - inzwischen bin ich an meinem Bier ...
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Di 10.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Es würde aber reichen, wenn man f als stetig voraussetzt,
> > nicht einmal notwendig differenzierbar.
>
> So wie ich mich erinnere, kann man auch stetige
> Funktionen auf einem Intervall definieren, die an
> keiner Stelle differenzierbar sind !
Ja, die gibt es.
Zur Konstruktion kann man eine Saegezahnfunktion $g : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] nehmen: eine solche Funktion ist etwa durch $f(2 n + x) = x$ und $f(2 n + 1 + x) = 1 - x$ gegeben fuer $n [mm] \in \IZ$, [/mm] $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$. Dann kann man $f(x) := [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} g(2^n [/mm] x)$ setzen, und das Ergebnis ist zwar stetig (da die Teilsummen eine gleichmaessig konvergierende Folge von stetigen Funktionen ist), aber nirgendwo differenzierbar.
Ueber Schulwissen geht das allerdings "leicht" hinaus 
LG Felix
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> > So wie ich mich erinnere, kann man auch stetige
> > Funktionen auf einem Intervall definieren, die an
> > keiner Stelle differenzierbar sind !
>
> Ja, die gibt es.
>
> Zur Konstruktion kann man eine Saegezahnfunktion [mm]g : \IR \to \IR[/mm]
> nehmen: eine solche Funktion ist etwa durch [mm]f(2 n + x) = x[/mm]
> und [mm]f(2 n + 1 + x) = 1 - x[/mm] gegeben fuer [mm]n \in \IZ[/mm], [mm]x \in [0, 1][/mm].
> Dann kann man [mm]f(x) := \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} g(2^n x)[/mm]
> setzen, und das Ergebnis ist zwar stetig (da die Teilsummen
> eine gleichmaessig konvergierende Folge von stetigen
> Funktionen ist), aber nirgendwo differenzierbar.
>
> Ueber Schulwissen geht das allerdings "leicht" hinaus
Klar. Dennoch wäre es wünschenswert, dass Leute,
die Analysis lehren, solche Beispiele im Hinterkopf
hätten, wenn sie Aufgaben stellen, wo Stetigkeit
und Differenzierbarkeit eine wichtige Rolle spielen.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Di 10.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al
> > Ueber Schulwissen geht das allerdings "leicht" hinaus
>
>
> Klar. Dennoch wäre es wünschenswert, dass Leute,
> die Analysis lehren, solche Beispiele im Hinterkopf
> hätten, wenn sie Aufgaben stellen, wo Stetigkeit
> und Differenzierbarkeit eine wichtige Rolle spielen.
Ja, das stimmt.
Es gibt, wenn ich mich richtig erinnere, auch Funktionen $f : [0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1]$, die streng monoton steigend, stetig mit $f(0) = 0$ und $f(1) = 1$ sind und die fast ueberall differenzierbar sind, und in jedem Punkt wo sie differenzierbar sind die Ableitung 0 haben.
So, nachgeschaut: die gibt es tatsaechlich, ein Beispiel ist die ![[]](/images/popup.gif) Cantorfunktion.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Mo 09.02.2009 | | Autor: | KaJaTa |
Hört sich interessant an. Ich werde dir morgen mal ein Feedback geben, was unsere Lehrerin dazu meint.
Danke für die Hilfe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Sie wird sagen: "Die Angabe f'(x) [mm] \not= [/mm] 0 setzt die Existenz der Funktion f' vorraus und damit die Differenzierbarkeit von f".
Aber lassen wir uns überraschen
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> Sie wird sagen: "Die Angabe f'(x) [mm]\not=[/mm] 0 setzt die
> Existenz der Funktion f' voraus und damit die
> Differenzierbarkeit von f".
>
> Aber lassen wir uns überraschen
Ich würde dagegen sagen:
Die Aussage " Es existiert ein x mit [mm] f'(x)\not=0 [/mm] "
setzt die Existenz von f'(x) nicht voraus, sondern
behauptet sie.
Juristisch gesprochen:
Die "Beweislast" ist also klar auf der Seite desjenigen,
der die Behauptung aufgestellt hat.
Good night and sweet dreams ...
Al-Chw.
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> Hört sich interessant an. Ich werde dir morgen mal ein
> Feedback geben, was unsere Lehrerin dazu meint.
> Danke für die Hilfe ;)
Na, und was hat sie nun gemeint ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 10.02.2009 | | Autor: | KaJaTa |
Also hab das mit dem aufteilen der Funktionen nicht angesprchen, weil sie dann doch gemeint hatte, dass f ja stetig sein müsse. Aber hab ja schon oben gepostet, wie wir es nun gemacht haben ;)
Hier:
Jap es wurde mit einem indirekten Beweis gemacht.
Irgendwas was mit Mittelwertsatz, so dass
Weil die ja verschiedene Funktionswerte haben.
(c und d wegen dem Intervall a, b damit man das nicht verwechselt)
f(d) - f(c) = 0 ist ja nur gegeben, wenn f eine Konstante ist. Und das ist ja ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Und somit wäre es ja bewiesen ;)
Aber danke nochmal. Vlt wäre ich gestern noch draufgekommen aber 12 war mir dann zu spät ;)
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> Also hab das mit dem Aufteilen der Funktionen nicht
> angesprchen, weil sie dann doch gemeint hatte, dass f ja
> stetig sein müsse.
Das ging aus der Aufgabenstellung aber eben nicht
hervor. Und auch die Voraussetzung, dass f stetig
sein solle, genügt nicht wirklich. Man muss voraus-
setzen, dass f ableitbar ist !
Vielleicht teilst du das der Lehrerin ja doch noch
mit. Auch Lehrpersonen dürfen von Zeit zu Zeit
mal wieder was lernen ...
> Aber hab ja schon oben gepostet, wie wir
> es nun gemacht haben ;)
das habe ich schon gesehen ...
Gruß und schönen Abend !
Al-Chwarizmi
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![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]"){kind=small}
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
, reverend
