Beweis von Mengeneigenschaften < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 28.10.2007 | | Autor: | Betman |
| Aufgabe | Seien M, N Mengen und f:M->N eine Funktion. Zeigen Sie, dass für beliebige Teilmengen A,B von M gilt:
f(A [mm] \cup [/mm] B)=f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) |
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Komme bei dieser Aufgabe, nicht weiter bzw. mir fehlt glaub ich sogar der richtige ansatz.
habe die Vereinigung von mengen, erstmal als aussagen aufgebschrieben.
xef(A [mm] \cup [/mm] B)=xef(A) [mm] \vee [/mm] xef(B)...
weiß nun aber ncith weiter...
Vielen Dank schonmal!!!
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> Seien M, N Mengen und f:M->N eine Funktion. Zeigen Sie,
> dass für beliebige Teilmengen A,B von M gilt:
>
> f(A [mm]\cup[/mm] B)=f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Für die Gleichheit der Mengen mußt Du ja zeigen
i)f(A [mm]\cup[/mm] B)/subseteq f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
ii)f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm]\cup[/mm] B)
Zu i)
Um das zu zeigen, zeige, daß jedes Element, welches in f(A [mm]\cup[/mm] B) liegt, auch in f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) ist.
Bew.:
Sei also
[mm] y\in [/mm] f(A [mm]\cup[/mm] B)
==> (Nun mußt Du mit der Definition des Bildes arbeiten. Was bedeutet es, daß y [mm] \in f(A\cup [/mm] B) liegt?
Es bedeutet:)
Es gibt ein x [mm] \in A\cup [/mm] B mit f(x)=y
==> ... (Nun überlege Dir, was x [mm] \in A\cup [/mm] B bedeutet)
Vielleicht kommst Du jetzt schon weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 28.10.2007 | | Autor: | Betman |
erstmal vielen dank, hat mir auf jeden fall geholfen!!
hab da jetzt weitergemacht, aber bin mir nich sicher ob es richtig ist..
also es gibt ein [mm] x\in f(A\cup [/mm] B) mit f(x)=y
daraus folgt [mm] x\in a\vee x\in [/mm] B
daraus folgt [mm] y\in f(A)\vee y\in [/mm] f(B)
daraus folgt [mm] f(A)\cup [/mm] f(B)
womit es eigentlich gezeigt wäre, dass [mm] f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup [/mm] f(B)
Muss man nun auch noch zeigen [mm] f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup [/mm] B)??
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> erstmal vielen dank, hat mir auf jeden fall geholfen!!
> hab da jetzt weitergemacht, aber bin mir nich sicher ob es
> richtig ist..
Hallo,
es ist schon ziemlich gut!
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> also es gibt ein [mm]x\in f(A\cup[/mm] B) mit f(x)=y
> daraus folgt
es gibt ein
[mm]x\in A\vee x\in[/mm] B
mit f(x)=y
==> es gibt ein [mm] x\in [/mm] A mit f(x)=y oder es gibt ein [mm] x\in [/mm] B mit f(x)=y
> daraus folgt [mm]y\in f(A)\vee y\in[/mm] f(B)
> daraus folgt
[mm] y\in
[/mm]
> [mm]f(A)\cup[/mm] f(B)
>
> womit es eigentlich gezeigt wäre, dass [mm]f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup[/mm]
> f(B)
> Muss man nun auch noch zeigen [mm]f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup[/mm]
> B)??
Ja, auf jeden Fall!
Eventuell kannst Du es abkürzen, indem Du den Bewies v. unten nach oben durchgehst und guckst, ob die ==> Pfeile bzw "daraus folgt" jeweils auch in die andere Richtung gilt. Dann kannst Du Äquivalenzpfeile setzen.
Andererseits ist das ja so kurz, daß man es übungshalber auch noch in die andere Richtung zeigen kann - ich finde es weniger fehlerträchtig, wenn man am Anfang die Richtungen getrennt zeigt.
Gruß v. Angela
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